第7章 第1节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第七章 立体几何与空间向量 第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【课程标准】1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图． 知识分步 落实 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ［微提醒］（1）常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 （2）球的截面的性质 ①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为 ． 2.立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观图中， 轴、 轴的夹角为 或 ， 轴与 和 轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 学生用书第152页 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　名称 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） 锥体（棱锥和圆锥） 台体（棱台和圆台） 球 ［微提醒］　棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体，其中棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) （2） 用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.( √ ) （3） 菱形的直观图仍是菱形.( × ) （4） 两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( × ) 2. （必修第二册P119练习 改编）已知圆锥的表面积等于 ，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A. B. C. D. [解析]［设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为 ，由题意，得 ， ， ，解得 ，所以 ．故选 .］ 3. （易错题）将一个邻边长分别为 ， 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是 或 ． [解析]当底面周长为 时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是 ；当底面周长为 时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为 .无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积 ，故所求的表面积是 或 ． 4. [2022·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 .将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为 ( C ) A. B. C. D. [解析]［依题意可知棱台的高为 ，所以增加的水量即为棱台的体积 .棱台上底面积 ,下底面积 ， 所以 .故选 .] 巧记结论——即时应用 几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为 ，球的半径为 ． ①若球为正方体的外接球，则 ； ②若球为正方体的内切球，则 ； ③若球与正方体的各棱相切，则 ． （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 ， ， ，外接球的半径为 ，则 ． （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为 ． 即时练1 [2020·天津卷]若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A. B. C. D. [解析]［设外接球的半径为 ，易知 ，所以 ，于是球的表面积 .故选 ．］ 即时练2 正四面体的外接球和内切球的表面积之比是( D ) A. B. C. D. [解析]［由正四面体的外接球与内切球的半径之比为 ，所以它们的表面积之比为 .故选 ．］ 考点分类 突破 考点一 基本立体图形 多维型 角度1 结构特征 例1-