第6章 培优增分系列（9） 微点突破——放缩法在数列中的应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

培优增分系列（九） 微点突破——放缩法在数列中的应用 证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高放缩技巧且充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、先求和再放缩 例1 [2022·新高考Ⅰ卷]记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （1） 求 的通项公式； [解析]因为 ，所以 ，所以 ， 又因为 是公差为 的等差数列， 所以 ，所以 ， 所以当 时, , 所以 ， 整理得： ， 即 ， 所以 ， 显然对于 也成立， 所以 的通项公式 . （2） 证明： . 证明： , 所以 . 规律方法 1.对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式. 2.明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小． 针对练1 已知 为等差数列 的前 项和， ， ． （1） 求 ； [解析]设等差数列 的公差为 ， 则 ， 所以由题意，有 得 ， ． 所以 ． （2） 记数列 的前 项和为 ，证明： ． 证明： ， 所以 ，即 ． 学生用书第141页 二、先放缩再求和 例2 设数列 的前 项和为 .已知 ， ， ． （1） 求 的值； [解析]依题意， ， 又 ，所以 ． （2） 求数列 的通项公式； [解析]由题意 ， 当 时， ， 两式相减得 ， 整理得 ， 即 ,又 ， 故数列 是首项为 ，公差为1的等差数列， 所以 ，所以 ． 故数列 的通项公式为 ． （3） 证明：对一切正整数 ，有 ． 证明：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 此时 ． 综上，对一切正整数 ， 有 ． 规律方法 1.对于“和式”数列不等式，若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列． 2.放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始． 3.常见的放缩技巧有： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ， ． 针对练2 已知 为数列 的前 项和, ，且 . （1） 求 的值； [解析]由 及 ，可得 . （2） 求数列 的前 项和 ； [解析]当 时，由 , 得 ; 所以数列 是首项 ，公差为6的等差数列； 所以 ，所以 . （3） 设数列 满足 ，求证: . 证明：因为 ; 所以 ，原命题得证. 学生用书第142页 学科网（北京）股份有限公司 $