第6章 培优增分系列（8） 微点突破——数列中的构造问题（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

培优增分系列（八） 微点突破——数列中的构造问题 对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式． 一、形如 型 角度1 （ ，1， ，其中 ） 例1-1 [2022·济南模拟]已知数列 ， ， ． （1） 求证： 是等比数列； 证明：由 ，得 ，而 ， 所以 是以5为首项，以2为公比的等比数列． （2） 求数列 的通项公式． [解析]由（1）知 ，则 ， 所以数列 的通项公式 ． 角度2 例1-2 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式． [解析]因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ． 角度3 例1-3 在数列 中， ， ，求数列 的通项公式． [解析]法一：原递推式可化为 .① 比较系数得 ，①式即 ． 则数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以 ， 即 ． 法二：将 的两边同除以 ，得 ， 令 ， 则 ， 设 ，比较系数得 ， 则 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.所以 ， 则 ， 所以 ． 学生用书第139页 规律方法 1.形如 的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． 2.递推公式 的推广式 ，两边同时除以 后得到 ，转化为 的形式，通过构造公比是 的等比数列 求解． 针对练1 [2022·武汉二中月考]已知正项数列 中， ， ，则数列 的通项公式为( D ) A. B. C. D. [解析]［法一：将递推公式 的两边同时除以 ， 得 ，① 令 ，则①式变为 ， 即 ， 所以数列 是首项为 ， 公比为 的等比数列， 所以 ， 即 ， 故 ．故选 . 法二：设 ， 则 ， 与题中递推公式比较得 ， 即 ， 所以数列 是首项为 ， 公比为2的等比数列，则 ， 故 ．故选 .］ 针对练2 （多选）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是( ACD ) A. B. C. 是等比数列 D. 不可能是等比数列 [解析]［因为 ， ，所以 ， ，故 正确， 错误； 因为 ，所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 正确； 因为 ， ， ，显然 ， 所以 不可能是等比数列，故 正确．故选 .］ 二、相邻项的差为特殊数列（形如 ，其中 ， 型） 例2 已知在数列 中， ， ， ，求这个数列的通项公式． [解析]因为 ， 所以 ， 又 ， 所以 是首项为7，公比为3的等比数列， 则 ，① 又 ， ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列， 则 ，② 得， ， 所以 ． 规律方法 可以化为 ，其中 ， 是方程 的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列 ，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列 ． 针对练1 数列 中， ， ，且满足 ，则数列 的通项公式为 ． [解析]由题意知， ， 所以 为等差数列． 设公差为 ，由题意得 ， 得 ． 针对练2 在数列 中， ， ， ，则 ． [解析]由题意知， ， 因为 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列， ， 当 时， ． 显然 时满足上式，所以 ． 三、倒数为特殊数列（形如 型） 例3（1） 已知数列 中， ， ，则 ． [解析]因为 ， ， 所以 ，所以 ， 即 ， 又 ，则 ， 所以 是以1为首项， 为公差的等差数列． 所以 ， 所以 ． （2） 在数列 中， ， ， ，则通项公式 ． [解析]递推式 的两边同时取倒数， 得 ，即 ， 因此 ， ， 故 是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是 ，可得 ． 学生用书第140页 规律方法 两边同时取倒数转化为 的形式，化归为 型，求出 的表达式，再求 ． 针对练1 （多选）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是( AD ) A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前 项和 [解析]［因为 ，所以 ，所以 ， 且 ，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，即 ， 所以 ，可得 ，故选项 正确，选项 不正确； 因为 单调递增，所以 单调递减， 即 为递减数列，故选项 不正确； 的前 项和 .故选项 正确．故选 .］ 针对练2 已知数列 满足 ， ，则 ． [解析]对递推关系两边取倒数， 得 ． 即 ， 分别用1，2，3， ， 替换 ，有 ， ， ， ， ， 以上 个式子相加， 得 ， 所以 ． 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司 $