第6章 核心专题突破（2） 数列中的综合应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

核心专题突破（二） 数列中的综合应用 破疑难1：数列求和 数列求和问题是高考数学解答题中数列重要的命题点，一般在第（2）问呈现，常见题型及解题方法为：（1）公式法：等差、等比数列直接用求和公式求和.（2）倒序相加法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和.（3）错位相减法：形如 （其中 为等差数列， 为等比数列）的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和.（4）裂项相消法：将数列的通项分成两项的差，即 的形式，然后抵消中间若干项的求和方法.形如 （其中 是公差 且各项均不为0的等差数列， 为常数）的数列等.（5）分组、并项求和法：分组、并项求和法是解决通项公式可以写成 形式的数列求和问题的方法，其中 与 是等差（比）数列或一些可以直接求和的数列. 技法一 分组转化法求和与并项求和 例1 [2021·新高考Ⅰ卷]已知数列 满足 ， （1） 记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； [解析]因为 ，且 ， 所以 ， ． 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列， ， ． （2） 求 的前20项和． [解析]因为 所以 时， ， 即 ，① ，② ，即 ，③ 得 ，即 ， 所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 得 ，即 ， 又 ，所以数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列 的前20项和 ． 规律方法 1.若数列 的通项公式为 ，且 ， 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列 的前 项和． 2.若数列 的通项公式为 其中数列 ， 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求 的前 项和． 3.如果 ，求 的前 项和时，可采用并项求和法求解． 针对练1 [2020·新高考Ⅰ卷]知公比大于1的等比数列 满足 ， . （1） 求 的通项公式; [解析]设 的公比为 .由题设得 , ， 解得 （舍去）, .所以 . 所以 的通项公式为 . （2） 记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前100项和 . [解析]由题设及（1）知 ,且当 时， . 所以 . 学生用书第143页 技法二 错位相减法求和 例2 [2021·全国乙卷]（规范解答）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， 成等差数列． （1） 求 和 的通项公式； ［切入点：设基本量 [答案]规范解答:设 的公比为 ,则 。 因为 成等差数列，①←------------①处等差中项 所以 所以 ；②[2分]←------------②处基本量列方程 即 ,解得 [3分] 故 [4分] （2） 记 和 分别为 和 的前 项和.证明： ［关键点： ［审题指导］　列方程 解方程 公式求和 错位相减求和 作差比较大小 结论 证明:由（1）知 ，③[5分]←------------③处等比数列求和公式 ,① ,②[7分] ①-② 得 ·④←------------④处错位相减 整理得 ，[10分] 则 ,故 .[12分]←------------⑤处作差比较大小 规律方法 错位相减求和方法 1.适用条件：若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 . 2.基本步骤 3.注意事项 （1）在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 ； （2）作差后，等式右边由第一项、中间 项的和式、最后一项三部分组成； （3）运算时，经常把 这 项和看成 项和，把 写成 导致错误. 学生用书第144页 针对练2 [2020·全国Ⅰ卷]设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1） 求 的公比； [解析]设 的公比为 ， 因为 为 ， 的等差中项， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ． （2） 若 ，求数列 的前 项和． [解析]设 的前 项和为 ， ，由（1）得 ， ， ，② 得， ， 所以 ， ． 技法三 裂项相消法求和 例3 [2022·咸宁模拟]设 是各项都为正数的单调递增数列，已知 ，且 满足关系式： ， ． （1） 求数列 的通项公式； [解析]因为 ， ， 所以 ， 即 ， 又 是各项为正数的单调递增数列， 所以 ， 又 ， 所以 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以 ，所以 ． （2） 若 ，求数列 的前 项和 ． [解析] ， 所以 ． 规律方法 裂项相消法求和 1.基本步骤 2.裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3.消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 针对练3 [2023·太原模拟]已知数列 对任意的 都满足 ． （1） 求数列 的通项公式；