第6章 第3节 等比数列（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三节 等比数列 【课程标准】1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．2.探索并掌握等比数列的前 项和公式，理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．4.体会等比数列与指数函数的关系. 知识分步 落实 1.等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（显然 ）． 数学语言表达式： （ ， 为非零常数）． （2）等比中项：如果在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项.此时 ． ［微提醒］　只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个． 2.等比数列的有关公式 （1）通项公式： ． （2）前 项和公式： 3.等比数列的性质 已知 是等比数列， 是数列 的前 项和． （1）若 ，则有 ． （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ， 仍是等比数列，公比为 ． （3）当 ，或 且 为奇数时， ， ， ， 仍成等比数列，其公比为 ． 4.等比数列与指数函数的关系 （1）当 时， ，可以看成函数 ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列 各项所对应的点都在函数 的图象上． （2）等比数列的单调性 当 ， 或 ， 时， 是递增数列； 当 ， 或 ， 时， 是递减数列； 当 时， 是常数列． （3）等比数列 的前 项和 ，公比 （ ， ， 均不为零）． ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 等比数列的公比 是一个常数，它可以是任意实数.( × ) （2） 三个数 ， ， 成等比数列的充要条件是 .( × ) （3） 数列 的通项公式是 ，则其前 项和为 .( × ) （4） 数列 为等比数列，则 ， ， 成等比数列.( × ) 学生用书第135页 2. （选择性必修第二册P36例8改编）已知等比数列的首项为 ，前 项和为 ，若 ，则公比 的值为( B ) A. B. C. 2 D. [解析]［当 时， ，所以 ． 当 时， ，所以 ．故选 .］ 3. （多选）（易错题）已知数列 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( AD ) A. B. { C. D. [解析]［当等比数列 的通项公式为 时， ，数列 不是等比数列，当等比数列 的公比 时， ，数列 不是等比数列，由等比数列的定义知 和 都是等比数列．故选 .］ 4. [2022·全国乙卷]已知等比数列 的前3项和为168, ,则 ( D ) A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 [解析]［设等比数列 的公比为 ， ， 若 ，则 ，与题意矛盾， 所以 ，则 解得 所以 .故选 ] 巧记结论——即时应用 1.若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数列． 2. 为等比数列，若 ，则 ， ， ， 成等比数列． 即时练1 数列 中，已知对任意 ， ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， ， 时， ， 所以当 时， ，又 时， 适合上式，所以 ， 故数列 是首项为4，公比为9的等比数列.因此 ．故选 .］ 即时练2 等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列.类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， ， 成等比数列． [解析]由结论可知， ， ， ， 成等比数列，故填 ， ． 考点分类 突破 考点一 等比数列的基本运算 讲练型 例1（1） [2020·全国Ⅱ卷]记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 等于( B ) A. B. C. D. [解析]法一:设等比数列 的公比为 ， 则 ． 由 ，得 ． 所以 ， ， 所以 ．故选 . 法二:设等比数列 的公比为 ， 则 得 ． 将 代入①，解得 ． 所以 ，下同法一． （2） [2019·全国Ⅰ卷]记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 ． [解析]设等比数列 的公比为 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，又 ，所以 ， 所以 ． 规律方法 等比数列基本运算中的两种常用数学思想 方程的思想 等比数列中有五个量 , , , , ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量 和 ，问题可迎刃而解 分类讨论的思想 等比数列的前 项和公式涉及对公比 的分类讨论，当 时， 的前 项和为 ;当 时， 的前 项和为 针对练1 已知在等比数列 中， ，前三项之和 ,则公比 的值是( C ) A. B. C. 1或 D. 或 [解析]［当 时， , ，符合题意； 当