第6章 第1节 数列的概念（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第六章 数列 第一节 数列的概念 【课程标准】　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数. 知识分步 落实 1.数列的概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的第 项与项数 数列 的第 项为 ， 在数列 中的项数为 通项公式 如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一般用 表示 前 项和 数列 中， 称为数列 的前 项和 2.数列的分类及性质 3.数列的表示方法 （1）列表法 列出表格来表示数列 的第 项与序号 之间的关系．见下表： 序号 1 2 3 … … 项 … … （2）图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点 ． （3）通项公式法 如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以正整数集 或它的有限子集 ,2,3， ， 为定义域的函数的表达式． （4）递推公式法 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × ) （2） 1,1,1,1， ，不能构成一个数列.( × ) （3） 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × ) （4） 如果数列 的前 项和为 ，则对任意 ，都有 .( √ ) 2. （选择性必修第二册P8练习 改编）在数列 中， ， ，则 ( D ) A. B. C. D. [解析] ， ， ， .故选 .］ 学生用书第126页 3. （易错题）设函数 的定义如下表，数列 满足 ，且对任意的 ，均有 ，则 4． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 [解析]由题意，数列 满足 ，且对任意的 ，均有 ，可得 ， ， ， ， ， ，所以 是周期为4的数列，所以 ． 4. 若数列 满足 ， ，则 的值为( C ) A. 2 B. C. D. [解析]［因为 ， ， 所以 ， 同理可得 ， ， ， ， 可得 ，则 .故选 .］ 巧记结论——即时应用 1.若数列 的前 项和为 ，通项公式为 ，则 2.在数列 中，若 最大，则 若 最小，则 即时练1 [2022·天津模拟]（多选）在数列 中， ，则数列 中的最大项可以是( AB ) A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 [解析]［由结论2可得 且 ，所以 即 ，所以最大项为第6项和第7项．故选 ．］ 即时练2 已知数列 的前 项和为 ，则 的通项公式为 ． 考点分类 突破 考点一 由 与 的关系求 讲练型 例1 [2022·福州质检]已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 . [解析]因为 ，① 所以当 时， ，② 得， ，所以 ，③ 又因为 也适合③式，所以 ． ［变式探究］ 1. （变条件，变设问）设 为数列 的前 项和，若 ，则 等于( B ) A. 27 B. 81 C. 93 D. 243 [解析]［根据 ， 可得 ， 两式相减得 ， 即 ， 当 时， ，解得 ， 所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以 .故选 .］ 2. （变条件）若本例中的条件变为“已知数列 满足 ”，则 . [解析]当 时，由已知，可得 ， 因为 ，① 故 ，② 由 ，得 ， 所以 ． 显然当 时不满足上式， 所以 规律方法 1.已知 求 的三个步骤 （1）先利用 求出 ; （2）用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 即可求出当 时 的表达式; （3）注意检验 时的表达式是否可以与 时的表达式合并. 2. 与 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用 转化为只含 ， 的关系式，再求解； （2）利用 转化为只含 , 的关系式，再求解. 针对练1 [2022·湖南三市联考]设数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， ，所以 ，所以 .故选 .］ 学生用书第127页 针对练2 已知在数列 中， 是其前 项和，且 ，则数列的通项公式 . [解析]当 时， ，所以 . 当 时， ，① ，② 得 ， 即 ， 所以数列 是首项 ，公比 的等比数列． 所以 . 考点二 由数列的递推公式求通项公式 讲练型 例2（1） 在