第5章 培优增分系列（7） 高数探源——极化恒等式的应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

培优增分系列（七） 高数探源——极化恒等式的应用 极化恒等式的证明过程与几何意义 证明过程：如图，设 ， ，则 ， ． ， ， 两式相减得 ，此即极化恒等式． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的 ． 典例（1） 如图，在三角形 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ，则 值为 ． [解析]设 ， ， ， ，解得 ， ， 所以 ． （2） 已知点 ， ， 均在半径为 的圆上，若 ，则 的最大值为 . [解析]设 ， ， 三点所在圆的圆心为 ，取 的中点 ， 故 ， 因为 ， ， 三点在圆上，所以 的长度最大为 ，其中 为圆心 到弦 的距离， 故最大值为 ，所以 的最大值为 ． 针对练1 已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是( C ) A. 1 B. 2 C. D. [解析]［如图所示，设 ，记 ， ， ， 为 的中点， 由极化恒等式有： ， 所以 ， 可知 是有固定起点，固定模长的动向量． 所以点 的轨迹是以 为直径的圆，且点 也在此圆上， 所以 的最大值为圆的直径长，即为 ．故选 .］ 针对练2 已知 为圆 的一条直径，点 为直线 上任意一点，则 的最小值是1． [解析]如图所示，由极化恒等式易知，当 垂直于直线 时， 有最小值，即 ． 学生用书第122页 学科网（北京）股份有限公司 $