第5章 第4节 复数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第四节 复数 【课程标准】1.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义. 知识分步 落实 1.复数的有关概念 （1）复数的概念 把形如 的数叫做复数，其中 , 分别是它的实部和虚部.若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数. （2）复数相等： 且 . （3）共轭复数： 与 共轭 , . （4）复数的模 向量 的模叫做复数 的模或绝对值，记作 或 ，即 ，其中 , . ［微提醒］　一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. 2.复数的几何意义 3.复数的运算 （1）复数的运算法则 设 , ,则 ①加法: ; ②减法: ; ③乘法: ； ④除法： . （2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 、 、 ，有 ， . ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 方程 没有解.( × ) （2） 复数 中，虚部为 .( × ) （3） 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) （4） 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( √ ) 2. [2022·新高考Ⅱ卷] ( D ) A. B. C. D. [解析] ,故选 .］ 3. [2022·全国甲卷]若 ，则 ( D ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以 ,所以 .故选 .］ 学生用书第123页 4. （多选）已知复数 的实部为 ，则下列说法正确的是( ACD ) A. 复数 的虚部为 B. 复数 的共轭复数 C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限 [解析] ，则 ，解得 ,所以其虚部为 ，故 正确； ,其共轭复数 ,故 错误； ，故 正确； 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，故 正确.故选 .］ 5. （必修第二册P73习题 改编）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内对应的点在( A ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]［由 得 ,故 ,所以 在复平面内对应的点为 ，故 在复平面内对应的点在第一象限，故选 .］ 巧记结论——即时应用 1. , , .若 ,则有 , , , . 2. , , , , . 3. , , , . 即时练1 [2022·潍坊质检]已知 ，则 ( D ) A. B. C. D. 1 [解析]［由结论3可知 ,故选 .］ 即时练2 为虚数单位，则 . [解析]由结论1可得 ，又 ,由结论2可知原式 . 考点分类 突破 考点一 复数的有关概念 自练型 1. [2022·浙江卷]已知 , , （ 为虚数单位），则( B ) A. , B. , C. , D. , [解析] ，而 , 为实数，故 , .故选 .］ 2. [2022·全国乙卷]已知 ,且 ，其中 , 为实数，则( A ) A. , B. , C. , D. , [解析] , ，由 ,得 即 故选 .］ 3. [2022·新余模拟]若复数 满足 ,则复数 的虚部为( C ) A. B. C. 1 D. [解析]［因为 , 所以 , 所以 ,所以 ,所以 ,所以 的虚部为1.故选 .］ 4. [2022·衡水中学模拟]已知 ,其中 , 是实数， 是虚数单位，则 的共轭复数为( B ) A. B. C. D. [解析]［由 ,得 ,即 , 所以 , ,解得 , ,所以 ， 所以其共轭复数为 .故选 .］ 规律方法 解决复数概念问题的方法及注意事项 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为 的形式，以确定实部和虚部. 考点二 复数的四则运算 讲练型 例1（1） [2022·新高考Ⅰ卷]若 ，则 ( D ) A. B. C. 1 D. 2 [解析]由题设有 ,故 ,故 .故选 . （2） （多选）设 , , 为复数， .下列命题中正确的是( BC ) A. 若 ，则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ，则 [解析]若 ， ，则 ，而 ,故 错误； ,则 ,又 ,所以 ,故 正确；因为 , ,又 ，所以 ,所以 ,故 正确；令 , ,满足 ,不满足 ,故 错误.故选 . （3） 若 ,则 ( C ) A. 1 B. C. D. [解析]因为 ,所以 ,故选 . 学生用