第5章 第3节 平面向量的数量积及应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三节 平面向量的数量积及应用 【课程标准】1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系.2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题与其他一些实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 知识分步 落实 1.向量的夹角 （1）条件：已知两个非零向量 , , 是平面上的任意一点，作 , ，如右图， 结论： 叫做向量 与 的夹角. （2）范围 . 特殊情况：当 时， 与 共线同向. 当 时， 与 共线反向. 当 时， 与 互相垂直. 2.向量的数量积 （1）条件：两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ， 结论：数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 . （2）投影向量：①如图，设 , 是两个非零向量， , ,考虑如下的变换：过 的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，则称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量. ②设与 方向相同的单位向量为 , 与 的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量是 . 3.平面向量数量积运算律 （1） （交换律）. （2） （结合律）. （3） （分配律）. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 , , . 结论 几何表示 坐标表示 向量的模 夹角余弦 充要条件 0 与 的关系 ［微提醒］（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2） 是对非零向量而言的，若 ，虽然有 ，但不能说 . ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 两个向量的数量积是一个实数.( √ ) （2） 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ ) 学生用书第118页 （3） 由 可得 或 .( × ) （4） .( × ) （5） 两个向量的夹角的范围是 .( × ) 2. 设 , ,若 ,则 的值为( A ) A. B. 4 C. D. [解析]［因为 ,所以 .故选 .］ 3. 在 中， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为( A ) A. B. C. D. [解析]［取点 为 的中点，根据题意作图， 因为 ， ， 所以 在 上的投影向量为 ，故选 4. [2022·全国甲卷]设向量 , 的夹角的余弦值为 ，且 , ,则 11. [解析]设 与 的夹角为 ,因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 , 又 ， ,所以 ， 所以 5. （必修第二册P18例10改编）已知 ， , ，则 与 的夹角 为 . [解析] ,又 ，则 . 考点分类 突破 考点一 平面向量数量积的计算 讲练型 例1（1） [2022·全国乙卷]已知向量 , 满足 ， , ,则 ( C ) A. B. C. 1 D. 2 [解析]因为 , 又因为 , , ,所以 ，所以 .故选 . （2） [2022·广州模拟]在平面四边形 中，已知 ， 为 上一点， ， ， ， 与 的夹角为 ,且 ,则 . [解析]如图所示，因为 ，所以四边形 为平行四边形， 因为 ，所以 ， ，又因为 ， , ,则 , 所以 . 规律方法 计算平面向量数量积的主要方法 1.利用定义： ． 2.利用坐标运算，若 ， ，则 ． 3.灵活运用平面向量数量积的几何意义． 针对练1 已知 是边长为2的正六边形 内（不包括边界）的一点，则 的取值范围是( A ) A. B. C. D. [解析] ,又 表示 在 方向上的投影，所以结合图形可知，当 与 重合时投影最大，当 与 重合时投影最小.又 ， ,故当点 在正六边形 内部运动时， .故选 .］ 针对练2 [2021·天津卷]在边长为1的等边三角形 中， 为线段 上的动点， 且交 于点 ， 且交 于点 ，则 的值为1； 的最小值为 ． [解析]设 ， ， 因为 为边长为1的等边三角形， ， 所以 ， ， ， ， 因为 ，所以 为边长为 的等边三角形， ， 所以 ， 所以 . 因为 ， 所以当 时， 的最小值为 ． 考点二 平面向量数量积的应用 多维型 角度1 向量的模 例2-1 （1） 已知向量 , 满足 , ,且 与 的夹角为 ,则 ， . [解析]因为 , , 与 的夹角为 ,所以 , , , 所以 , . （2） 已知直角梯形 中， , , , , 是腰 上的动点，则 的最小值为5. [解析]建立平面直角坐标系如图所示，则 ，设 , ，则 . 所以 , 所以 ， 所以当 时， 取