第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第二节 平面向量基本定理及坐标表示 【课程标准】1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 知识分步 落实 1.平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 . 若 , 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 , ，则 , , , . （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 , ， 则 ； . 3.平面向量共线的坐标表示 设 , ,其中 . . ［微提醒］　当且仅当 时， 与 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.( × ) 学生用书第115页 （2） 同一向量在不同基底下的表示是相同的.( × ) （3） 若 , ，则 的充要条件可表示成 .( × ) （4） 若 , 不共线，且 ，则 , .( √ ) 2. （必修第二册P31例7改编）已知向量 ， ，且 ，则 的值是( B ) A. B. 6 C. 9 D. 12 [解析]［因为 ，所以 ，所以 .故选 .］ 3. （必修第二册P33练习 改编）设 是线段 上的一点，若 ， 且 是线段 的一个三等分点（靠近点 ），则点 的坐标为( A ) A. B. C. 或 D. 或 [解析]［由已知得， ， .设 ，则 ，所以 ， ，点 的坐标为 .故选 .］ 4. 已知点 ， ，向量 ，则向量 . [解析]根据题意得 ， 所以 巧记结论——即时应用 1.向量共线的充要条件的两种形式 （1） ; （2） （其中 , 且 ）. 2.已知 的顶点 , , ，则 的重心 的坐标为 . 即时练1 已知 ， ，且 ，其中 为坐标原点，则 点坐标为( B ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， ，且 ，所以 是 的重心，又 ， ， ，所以 点坐标为 .故选 .］ 即时练2 已知向量 ， ,若 与 共线，则 . [解析]由向量 , , 得 , 由 与 共线， 得 . 所以 . 考点分类 突破 考点一 平面向量基本定理及其应用 讲练型 例1（1） 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 等于( A ) A. B. C. D. [解析]如图， , 所以 .故选 . （2） 如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ,且 ， .若 ,则 6. [解析]法一：如图，作平行四边形 ， 则 ， 因为 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，所以 ． 在 中， ， ，所以 ， ， 所以 ，所以 ，所以 ， ，所以 ． 法二：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， ， ． 由 ，得 解得 所以 ． 规律方法 平面向量基本定理的实质及解题思路 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 针对练1 [2022·山东省实验中学等四校联考]如图，在 中， ， ， 的平分线交 的外接圆于点 ，设 ， ，则向量 等于( C ) A. B. C. D. [解析]［设圆的半径为 ，在 中， ， ， 所以 ， ， 又 的平分线交 的外接圆于点 ， 所以 ，则根据圆的性质得 ， 又因为在 中， ， 所以四边形 为菱形， 所以 ．故选 学生用书第116页 针对练2 [2022·苏州质检]如图，在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 的中点，连接 ， ，交于点 .若 ，则 ． [解析]由题图可设 ，则 ． 因为 ， 与 不共线，所以 ， ，所以 ． 考点二 平面向量的坐标运算 讲练型 例2（1） 已知 ， ，若 ，则 等于( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ． 因为 ， 所以 ．故选 . （2） 如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，若 ，则 的值为( B ) A. B. C. 2 D. [解析]建立如图所示的平面直角坐标系，则 ． 不妨设 ，则 ，所以 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 解得 故 ．故选 . 规律方