第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第五章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 【课程标准】1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 知识分步 落实 1.向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模. （2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量. （4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量.规定：0与任意向量平行. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量. ［微提醒］　单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与非零向量 平行的单位向量有两个，即向量 和 . 2.向量的线性运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 平行四边形法则 三角形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 向量 加上向量 的相反向量叫做 与 的差，即 三角形法则 数乘 实数 与向量 的积是一个向量，记作 （1）模： （2）方向： 当 时， 与 的方向相同； 当 时， 与 的方向相反； 当 时， 设 , 是实数. （1） 3.共线向量定理 向量 与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 . ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 与 是否相等与 ， 的方向无关.( √ ) （2） 若 ， ，则 .( × ) （3） 向量 与向量 是共线向量，则 ， ， ， 四点在一条直线上.( × ) （4） 当两个非零向量 ， 共线时，一定有 ，反之亦成立.( √ ) 2. （多选）（必修第二册P5习题 改编）以下说法正确的是( ABD ) A. 零向量与任意非零向量平行 B. 零向量的模与单位向量的模不相等 C. 平行向量方向相同 D. 平行向量一定是共线向量 [解析]［对于 ，根据零向量的性质，可知 是正确的；对于 ，因为零向量的模是0，单位向量的模是1，所以 是正确的；对于 ，平行向量的方向相同或相反，所以 不正确；对于 ，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以 是正确的，故选 .］ 学生用书第112页 3. 是 所在平面内一点，若 ，其中 ，则 点一定在( B ) A. 内部 B. 边所在直线上 C. 边所在直线上 D. 边所在直线上 [解析]［根据题意， ,所以点 在 边所在直线上，故选 .］ 4. （必修第二册P10练习 改编）已知 的对角线 和 相交于点 ，且 , ,则 ， .（用 , 表示） [解析]如图， , . 巧记结论——即时应用 1.若 为线段 的中点， 为平面内任意一点，则 . 2.已知 （ , 为实数），若点 , ， 三点共线，则 . 即时练 如图， 在 的内部， 为 的中点，且 ，则 的面积与 的面积的比值为4. [解析]因为 为 的中点，则 ，又 ，所以 ，所以 为 的中点.又因为 为 的中点， 所以 ,则 . 考点分类 突破 考点一 平面向量的基本概念 自练型 1. 设 是非零向量， 是非零实数，下列结论正确的是( C ) A. 与 的方向相反 B. C. 与 的方向相同 D. [解析]［当 时， 与 的方向相同，所以选项 错误；当 时，选项 不成立，所以选项 错误；因为 是非零实数，所以 ，因此 与 的方向相同，所以选项 正确；因为 是一个实数， 是一个向量，所以选项 错误.故选 .］ 2. 设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是( C ) A. B. C. D. 且 [解析]［因为向量 的方向与向量 相同，向量 的方向与向量 相同，且 ，所以向量 与向量 方向相同，故可排除选项 ， ， . 当 时， ，故 是 成立的充分条件.故选 3. （多选）给出下列命题，不正确的有( ACD ) A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 若 ， ， ， 是不共线的四点，且 ,则 为平行四边形 C. 的充要条件是 且 D. 已知 , 为实数，若 ,则 与 共线 [解析][ 项错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点； 项正确，因为 ,所以 且 ,又 ， ， ， 是不共线的四点，所以四边形 为平行四边形； 错误，当 且方向相反时，即使 ,也不能得到 ,所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件； 项错误