第2章 第9节 函数的模型及其应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第九节 函数的模型及其应用 【课程标准】1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 知识分步 落实 1.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 , 为常数， 反比例函数模型 , 为常数且 二次函数模型 , , 为常数， 指数函数模型 , , 为常数， 且 , 对数函数模型 , , 为常数， 且 , 幂函数模型 , , 为常数， , 2.三种函数模型的性质 　　函数 性质 在 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 的增大逐渐表现为与 轴平行 随 的增大逐渐表现为与 轴平行 随 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 ,当 时，有 ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 幂函数增长比一次函数增长更快.( × ) （2） 在 内，随着 的增大， 的增长速度会超过并远远大于 的增长速度.( √ ) （3） 指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.( √ ) （4） 在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( × ) 2. 在某个物理实验中，测得变量 和变量 的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.01 0.98 2.00 则对 , 最适合的拟合函数是( D ) A. B. C. D. [解析]［根据 , ，代入计算，可以排除 ；根据 ， ，代入计算，可以排除 ， ；将各数据代入函数 ，可知满足题意.故选 .］ 3. （多选）如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差） 与乘客量 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示. 则下列说法中，正确的有( BC ) A. 图②的建议：提高成本，并提高票价 B. 图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C. 图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D. 图③的建议：提高票价，并降低成本 [解析]［ 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故 正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故 正确．故选 .］ 4. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 万件时的生产成本为 （万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件. [解析]利润 ,当 时， 有最大值. 学生用书第51页 巧记结论——即时应用 “对勾”函数的性质 函数 , （1）该函数在 和 上单调递增； 在 和 上单调递减. （2）当 时, 时取最小值 ； 当 时， 时取最大值 . 即时练 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用 （万元）与隔热层厚度 （厘米）满足关系式： ，若无隔热层（即 ），则每年能源消耗费用为5万元.设 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1） 求 和 的表达式； [解析]当 时， ，因为 , 所以 ，故 . 因为 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和, 所以 . （2） 当隔热层修建多少厘米厚时，总费用 最小，并求出最小值. [解析] , 当且仅当 , 即 时取得最小值. 即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元. 考点分类 突破 考点一 利用函数的图象刻画实际问题 自练型 1. [2022·内江模拟]对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是( A ) 1 2 3 3 5.99 12.01 A. B. C. D. [解析]［根据题意，这3组数据可近似为（1，3），（2，6），（3，12）；增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是 ．故选A.］ 2. 如图，一高为 且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 .若鱼缸水深为 时，水流出所用时间为 ，