第2章 第5节 指数与指数函数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第五节 指数与指数函数 【课程标准】1.通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识分步 落实 1.根式 （1）根式的概念 ①一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 且 .式子 叫做根式，这里 叫做根指数, 叫做被开方数. 的 次方根的表示： （2）根式的性质 ① . ② 2.有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正分数指数幂： ； ②负分数指数幂： ； 的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. （2）有理数指数幂的性质 ① ； ② ; ③ . 3.指数函数的图象与性质 函数 ,且 图象 图象特征 在 轴上方，过定点 当 逐渐增大时，图象逐渐下降 当 逐渐增大时，图象逐渐上升 性质 定义域 值域 单调性 减函数 增函数 函数值变化规律 当 时， 当 时， ;当 时， 当 时， ；当 时， ［微提醒］　指数函数 的图象与性质跟 的取值有关，要特别注意分 和 两种情况. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( × ) （2） 分数指数幂 可以理解为 个 相乘.( × ) （3） 函数 与 都不是指数函数.( √ ) （4） 若 ，且 ，则 .( × ) 学生用书第36页 2. （必修第一册P107练习 改编）化简 得( D ) A. B. C. D. [解析]［因为 , ,所以 .故选 .］ 3. （易错题）设函数 ,且 , ,则( A ) A. B. C. D. [解析]［由 , ,得 ,所以 .又因为 ，所以 ， 即 .故选 .］ 4. （必修第一册P114例1改编）若函数 ,且 的图象经过点 ,则 . [解析]由题意知 ,所以 , 所以 ,所以 . 巧记结论——即时应用 1.指数函数的图象恒过点 ， ， ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. 2.函数 与 ,且 的图象关于 轴对称. 3.底数 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 时，指数函数的图象“上升”；当 时，指数函数的图象“下降”. 即时练1 已知 , , , ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为( A ) A. B. C. D. [解析]［由指数函数的性质知，选 .］ 即时练2 函数 ，且 的图象恒过点 . [解析]由结论1，在函数 中，当 时，恒有 ，即函数 的图象恒过点 . 即时练3 若函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是 . [解析]由题意知 ，即 ， 得 或 . 考点分类 突破 考点一 指数幂的化简与求值自练型 1. 化简 ( B ) A. B. C. D. [解析]［因为 有意义，所以 ，所以 ,所以 .故选 .］ 2. （多选）下列计算正确的是( BC ) A. B. C. D. 已知 ,则 [解析]［对于 ， ,所以 错误; 对于 ， ， 所以 正确; 对于 ， ，所以 正确; 对于 ，因为 , 所以 ， 错误，故选 3. 计算： . [解析]原式 . 4. 已知 ，求下列各式的值： （1） ; [解析]将 两边平方, 得 ，即 . （2） . [解析]将 两边平方，得 , 即 . 学生用书第37页 规律方法 指数幂运算的一般原则 1.有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. 4.若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 　　［提醒］　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一. 考点二 指数函数的图象及其应用 讲练型 例1（1） 定义运算 则函数 的图象是( A ) A. B. C. D. [解析]因为当 时， ; 当 时， . 所以 故选 . （2） 若曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围为 . [解析] 函数 与 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是 . 规律方法 与指数函数有关的图象问题的求解方法 1.已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除. 2.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过