第2章 第4节 幂函数与二次函数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第四节 幂函数与二次函数 【课程标准】1.了解幂函数的概念.2.结合函数 , , , , 的图象，了解它们的变化情况.3.理解二次函数的图象和性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识分步 落实 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，把函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在 上都有定义； ②当 时，幂函数的图象都过点 和 ，且在 上单调递增; ③当 时，幂函数的图象都过点 ，且在 上单调递减； ④当 为奇数时， 为奇函数；当 为偶数时， 为偶函数. ［微提醒］　一个函数是幂函数，它的解析式必须满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量 ;（3） 的系数为1. 2.二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式： . 顶点式： ，顶点坐标为 . 零点式： , , 为 的零点. （2）图象与性质 函数 图象 定义域 值域 单调性 在 上递减，在 上递增 在 上递增，在 上递减 奇偶性 当 时为偶函数 对称轴 函数的图象关于 成轴对称 ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 函数 是幂函数.( × ) （2） 当 时，幂函数 在 上是增函数.( √ ) （3） 二次函数 不可能是偶函数.( × ) （4） 二次函数 的最值一定是 .( × ) 2. （必修第一册P91 T1改编）已知 .若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 . [解析]由 为奇函数，知 取 ,1,3.又 在 上递减，所以 ,取 . 3. （必修第一册P86 T7改编）函数 , ，则 的最小值为 . [解析]函数 的图象的对称轴为直线 , 所以函数 在 上单调递减，所以 . 4. （易错题）已知函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是 . [解析]函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 ，由函数在区间 内单调递减可知，区间 应在直线 的左侧，所以 ,解得 . 学生用书第33页 考点分类 突破 考点一 幂函数的图象与性质 自练型 1. 若幂函数 的图象过点 ，则幂函数 的大致图象是( C ) A. B. C. D. [解析]［设幂函数的解析式为 ,因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 .所以 ，其定义域为 ，且是增函数，当 时，其图象在直线 的上方，对照选项， 正确.］ 2. 已知点 在幂函数 的图象上，则函数 是( A ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 定义域内的减函数 D. 定义域内的增函数 [解析]［由题意得 ,且 ,因此 ， .故 是奇函数，但在定义域 不是单调函数.故选 .］ 3. 已知点 在幂函数 的图象上，设 , , ,则 , , 的大小关系是( A ) A. B. C. D. [解析]［由于 为幂函数， 所以 ，则 ， . 又点 在函数 的图象上， 所以 ， ，故 ，且在 上是增函数， 又 , 所以 ,即 .故选 4. [2022·郑州质检]幂函数 的图象关于 轴对称，则实数 2. [解析]由幂函数定义，知 ，解得 或 ,当 时， 的图象不关于 轴对称，舍去，当 时， 的图象关于 轴对称，因此 . 规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 , , 所分区域.根据 , , , 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 3.在区间 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 轴（简记为“指大图低”），在区间 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 轴. 考点二 求二次函数的解析式 讲练型 例1 （一题多解）已知二次函数 满足 , ,且 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式. [解析]法一：（利用一般式） 设 . 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为 . 法二：（利用顶点式） 设 . 因为 , 所以抛物线的对称轴为 . 所以 .又函数有最大值8，所以 ， 所以 . 因为 ，所以 , 解得 , 所以 . 法三：（利用两点式） 由已知 的两根为 , , 故可设 , 即 . 又函数有最大值8，即 ， 解得 或 （舍去）, 所以所求函数的解析式为 . 规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 针对练1 已知二次函数 的图象与 轴的两个交点的坐标分别为 和 ，且函数有最小值 ，则 . [解析]设函数的解析式为 , 所以 , 由题意得 ，解得 , 所以 . 针对练2 已知二次函数 的图象经过点 ，在 轴上截得的线段长