第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性 【课程标准】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.结合三角函数，了解周期性的含义和几何意义,会应用简单函数的周期性. 知识分步 落实 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数 关于 轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ,那么函数 是奇函数 关于原点对称 ［微提醒］　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 2.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数 ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 函数 , 是偶函数.( × ) （2） 偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( × ) （3） 如果函数 , 为定义域相同的偶函数，则 是偶函数.( √ ) （4） 若 是函数的一个周期，则 也是函数的周期.( √ ) 2. （必修第一册P84例6改编）（多选）下列函数中为偶函数的是( BD ) A. B. C. D. [解析] 选项 为奇函数， 选项 的定义域为 不关于原点对称为非奇非偶函数.故选 .］ 3. 已知 是定义在 上的偶函数，那么 的值是( B ) A. B. C. D. [解析]［因为 是定义在 上的偶函数， 所以 ,所以 . 又 ,所以 ,所以 .故选 .］ 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时， . [解析]当 时，则 ，所以 .又 为奇函数，所以 ，所以 . 5. （易错题）设函数 是定义在 上周期为3的奇函数，且 ，则 的值为 . [解析]因为函数 是定义在 上周期为3的奇函数，所以 ，且 , ，所以 ， ，所以 . 巧记结论——即时应用 1.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数 是偶函数，那么 . （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. （3）在公共定义域内有：奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇×奇 偶，偶×偶 偶，奇×偶 奇. 2.函数周期性常用结论 对 定义域内任一自变量的值 （1）若 ，则 . （2）若 ,则 . 学生用书第27页 （3）若 ,则 . 3.函数对称性常用结论 （1）若函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称. （2）若对于 上的任意 都有 或 ,则 的图象关于直线 对称. （3）若函数 是奇函数，则函数 的图象关于点 中心对称. 即时练1 已知函数 是偶函数，当 时， 恒成立，设 , , ，则 , , 的大小关系为( A ) A. B. C. D. [解析]［由结论3知，函数关于 对称，当 时, ,则 ,所以函数 在 上为增函数，所以 ,因为 ,所以 .故选 .］ 即时练2 已知定义在 上的函数满足 ,当 时， ，则 1. [解析]由结论2知 ， . 考点分类 突破 考点一 函数的奇偶性 多维型 角度1 函数奇偶性的判断 例1-1 判断下列函数的奇偶性： （1） ; [解析] 的定义域为 , ，关于原点对称. 又 , , 所以 既是奇函数又是偶函数. （2） ; [解析]由 得函数的定义域为 ， . 所以 ， 所以 为偶函数. （3） [解析] 的定义域为 ，关于原点对称, 当 ,即 时， ; 当 ，即 时， ; 当 时， ，也满足 . 故该函数为奇函数. 角度2 函数奇偶性的应用 例1-2 （1） [2022·哈尔滨模拟]函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ，则 的值为( C ) A. B. 0 C. 2 D. 4 [解析]依题意，令 ， 显然函数 的定义域为 ，则 ， 即函数 是奇函数， 因此，函数 在区间 上的最大值与最小值的和为0，而 ， 则有 ， ， 于是得 ， 所以 的值为2． （2） [2022·全国乙卷]若 是奇函数，则 , . [解析]因为 是奇函数，所以 的定义域关于原点对称. 由已知得 ,所以 ，即当 时， , 所以 ,所以 ， 此时 , 因为 为奇函数且在 处有意义， 所以 ，即 , 所以 . 综上可知， , . 规律方法 1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： （1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （2）判断 与 是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量