第2章 第1节 函数的概念及其表示（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第二章 函数与基本初等函数 第一节 函数的概念及其表示 【课程标准】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识分步 落实 1.函数的有关概念 （1）函数的概念 一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ,按照某种确定的对应关系 ,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ， .其中， 叫做自变量, 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域. （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域. （3）函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法. ［微提醒］　两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是同一个函数，若是值域和对应关系相同，两函数不一定相同. 2.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. ［微提醒］　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 函数 的图象与直线 有两个交点.( × ) （2） 定义域相同，值域也相同的两个函数一定是同一个函数.( × ) （3） 二次函数 的值域可以表示为 ，即为 .( √ ) （4） 分段函数是由两个或几个函数组成的.( × ) 2. （必修第一册P73习题 改编）函数 图象如图所示， 则: （1） 4; [解析]因为 过点 ，故可得 ; （2） 2; [解析]因为 ，故 ; （3） 若 ，则 与 的大小关系为 ; [解析]因为 在区间 上是单调减函数，故可得 ; （4） 若 ，则 . [解析]由图可知， 过点 ，故可得 . 3. 已知函数 ,则 1. [解析] ，则 . 4. （易错题）（必修第一册P65例2改编）已知 ,若 ,则 的值为1. [解析]因为 , 所以 , 解得 . 巧记结论——即时应用 1.直线 （ 是常数）与函数 的图象有0个或1个交点. 学生用书第20页 2.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 即时练1 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数 的图象可能是( B ) A. B. C. D. [解析] 中函数定义域不是 ； 中图象不表示函数； 中函数值域不是 .］ 即时练2 在下列函数中， 与 表示同一函数的是( B ) A. , B. , C. , D. , [解析]［对于 ，函数 的定义域为 , 的定义域为 , 与 的定义域不相同，则不是同一个函数；对于 ，函数 的定义域为 , 的定义域为 ， 与 的定义域相同， 对应关系相同，则 与 是同一个函数；对于 ，函数 的定义域为 , 的定义域为 , 与 的定义域不相同，则不是同一个函数；对于 ，函数 的定义域为 ， 的定义域为 , 与 的定义域不相同，则不是同一个函数.故选 .］ 考点分类 突破 考点一 求函数的定义域 自练型 1. [2022·西北师大附中月考]函数 的定义域是( B ) A. B. C. D. [解析]［由题意，得 解得 或 ． 因此函数的定义域为 ．故选 .］ 2. 已知函数 ，则函数 的定义域为( D ) A. B. C. D. [解析]［令 ，即 ，即 ． 所以 的定义域为 ． 所以函数 中，有 解得 且 ．故函数 的定义域为 .故选 .］ 3. 如果函数 的定义域为 ，那么实数 的值为( D ) A. B. C. 1 D. 2 [解析]［因为 ，所以 ,又因为函数定义域为 ,所以 ,所以 .故选 .］ 4. [2022·郑州模拟]已知函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围是 . [解析]因为函数 的定义域是 ，所以 对任意实数 都成立.当 时，显然成立；当 时，需 ，解得 .综上所述，实数 的取值范围为 . 规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 （1）若已知函数 的定义域为 ,则复合函数 的定义域可由不等式 求出. （2）若已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 在 上的值域. 考点二 求函数的解析式 讲练型 例1（1） 已知二次函数 满足 ,求 的解析式； [解析]法一：（换元法）令