第1章 培优增分系列（1） 高数探源——柯西不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

培优增分系列（一） 高数探源——柯西不等式 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西 发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空题中求最值的问题，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果. 1.（柯西不等式的代数形式）设 , , , 均为实数，则 , 当且仅当 时，等号成立. 推广一般情形：设 , , , , , , , , 则 , 当且仅当 或存在一个实数 ,使得 时，等号成立. 2.（柯西不等式的向量形式）设 , 为平面上的两个向量，则 ，当且仅当 是零向量,或存在实数 ，使 时，等号成立. 3.（柯西不等式的三角形式）设 , , , , , 为任意实数，则: . 一、利用柯西不等式求最值 例1 已知 , 满足 ，则 的最小值为 . [解析] , 所以 , 当且仅当 时，即 , 时，等号成立, 所以 的最小值为 . 例2 已知正实数 , , 满足 ，正实数 , , 满足 ，则 的最大值为3. [解析] , 所以 , 当且仅当 , , 时取“ ”, 所以 的最大值为3. 例3 函数 的最大值为 . [解析] ,当且仅当 时等号成立，所以 . 二、利用柯西不等式证明不等式 例4 已知 , , , 为实数，且 ， ,证明 . 证明： 由柯西不等式可得： ， 因为 , , 所以 , 因此 . 例5 已知 , ， , 都是实数，求证： . 证明：根据柯西不等式，有 , 所以 . 学生用书第15页 学科网（北京）股份有限公司 $