第1章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第五节 二次函数与一元二次方程、不等式 【课程标准】1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知识分步 落实 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两相异实根 , 有两相等实根 没有实数根 的解集 或 的解集 ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 若不等式 的解集为 ,则必有 .( √ ) （2） 若方程 没有实数根，则不等式 的解集为 .( × ) （3） 不等式 在 上恒成立的条件是 且 .( × ) （4） 若二次函数 的图象开口向下，则不等式 的解集一定不是空集.( √ ) 2. （必修第一册P52例1改编）不等式 的解集为( C ) A. B. C. 或 D. 或 [解析]［根据题意，方程 有两个根，即 和1，则 的解集为 或 .故选 .］ 3. （易错题）不等式 的解集是( A ) A. B. 或 C. D. [解析]［不等式可化为 解得 所以 或 .故选 .］ 4. 若关于 的不等式 的解集是 ，则 . [解析]由题可知， , 是方程 的两个根，所以 解得 所以 . 巧记结论——即时应用 1.简单分式不等式 （1） （2） . 学生用书第16页 2.两个常用的结论 （1）不等式 对任意实数 恒成立 （2）不等式 对任意实数 恒成立 即时练1 “ ”是“ ”的( C ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［因为“ ” “ ”, 所以“ ”是“ ”的充要条件.故选 .］ 即时练2 不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 . [解析]因为不等式 的解集不是空集， 所以 ，即 . 所以 或 . 考点分类 突破 考点一 不含参数的一元二次不等式的解法 自练型 1. 不等式 的解集为( C ) A. B. C. D. [解析]［不等式 ,即 ,所以 ,解得 .所以原不等式的解集为 .故选 .］ 2. 不等式 的解集为 . [解析]原不等式等价于 即 即 解得 将 的取值范围在数轴上表示，如图， 由图可知，原不等式的解集为 或 . 3. 不等式 的解集为 . [解析]移项通分得 ， 等价于 解得 或 ，即原不等式的解集为 . 规律方法 解一元二次不等式的4个步骤 1.一化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2.二判:计算对应方程的判别式. 3.三求:求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根. 4.四写:利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 讲练型 例1 解关于 的不等式 . [解析]原不等式变为 . 因为 ,所以 , 所以当 时，解为 ; 当 时，解集为 ; 当 时，解为 . 综上，当 时， 不等式的解集为 ; 当 时，不等式的解集为 ; 当 时，不等式的解集为 . ［变式探究］ （变条件）在本例中，把 改成 ，解不等式. [解析]当 时，同例1,当 时， 原不等式等价于 ，即 ， 当 时， , 原不等式可化为 , 解得 或 . 综上，当 时，不等式的解集为 ; 当 时，不等式的解集为 ; 当 时，不等式的解集为 ; 当 时，不等式的解集为 ; 当 时，不等式的解集为 . 规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤 1.二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式. 2.判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式 与0的关系. 3.确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式. 学生用书第17页 针对练1 （多选）已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是( AC ) A. B. 不等式 的解集为 C. 不等式 的解集为 D. [解析]［关于 的不等式 的解集为 , 所以二次函数 的开口方向向上，即 ，故 正确； 对于 ，方程 的两根分别为 ，4， 由根与系数的关系得 解得 , 由于 ，所以 , 所以不等式 的解集为 , 故 不正确； 对于 ，由 的分析过程可知 所以 或 , 所以