第1章 第4节 基本不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第四节 基本不等式 【课程标准】　掌握基本不等式 ,结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 知识分步 落实 1.基本不等式： （1）基本不等式成立的条件是 ， . （2）等号成立的条件是：当且仅当 时取等号. （3）其中 称为正数 ， 的算术平均数， 称为正数 ， 的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值问题 已知 , ,则 （1）如果积 是定值 ,那么当且仅当 时， 有最小值是 （简记：积定和最小）. （2）如果和 是定值 ,那么当且仅当 时， 有最大值是 （简记：和定积最大）. ［微提醒］　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽视任何一个条件，就可能会出错. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 函数 的最小值是2.( × ) （2） 当 , 时， .( √ ) （3） 已知 , ，且 ,则 .( √ ) 2. （易错题）（多选）下列说法错误的是( BCD ) A. 两个不等式 与 成立的条件是不同的 B. 函数 的最小值是2 C. 函数 的最小值为4 D. 且 是 的充要条件 [解析]［对于选项 ，不等式 成立的条件是 , ，不等式 成立的条件是 , ;对于选项 ，函数 的值域是 ，没有最小值；对于选项 ，函数 没有最小值；对于选项 ， 且 是 的充分不必要条件.故选 .］ 3. （必修第一册P48T1改编）当 时， 的最小值为7. [解析]当 时， , 当且仅当 ,即 时等号成立. 4. （必修第一册P46例3改编）若把总长为 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25 . [解析]设一边长为 ,则另一边长可表示为 ,由题意可知 , 则面积 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故当矩形的长与宽相等，且都为 时面积取到最大值 . 巧记结论——即时应用 几个重要的不等式 （1） ; （2） （ , 同号）； （3） ; （4） . 即时练 已知 , ，下列不等式一定成立的是( D ) A. B. C. D. [解析]［由 ，得 ；由 ，得 ,故 .故选 .］ 学生用书第12页 考点分类 突破 考点一 利用基本不等式求最值 多维型 角度1 配凑法求最值 例1-1 （1） 已知 ,则 的最小值为5. [解析]因为 ,所以 , 所以 . 当且仅当 ，即 时取等号. （2） 已知 ,则 的最大值为 . [解析] ， 当且仅当 ,即 时取等号. 角度2 常数代换法求最值 例1-2 已知 , ， ,则 的最小值为4. [解析]因为 ,所以 .当且仅当 时，取等号. ［变式探究］ （变条件）将本例条件“ ”改为“ ”，则 的最小值为 . [解析]因为 ,所以 .所以 .当且仅当 时，取等号. 角度3 消元法求最值 例1-3 [2022·烟台模拟]已知 , ， ,则 的最小值为6. [解析]法一：（换元消元法） 由已知得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号. 即 , 令 ,则 且 , 得 ，即 的最小值为6. 法二：（代入消元法）由 ，得 , 所以 , 当且仅当 ，即 ， 时取等号,所以 的最小值为6. ［变式探究］ （变问法）本例条件不变，求 的最大值. [解析]法一： ,所以 , 令 ，所以 ，所以 , 即 ，解得 , 所以 ,所以 , 当且仅当 ，即 , 时取等号，所以 的最大值为3. 法二:因为 , 所以 . 当且仅当 ，即 , 时取等号. 所以 的最大值为3. 规律方法 1.前提：“一正”“二定”“三相等”. 2.要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 3.条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法. 针对练1 [2022·哈尔滨模拟]已知 , ，且 ，则当 取得最小值时， 等于( B ) A. 16 B. 6 C. 18 D. 12 [解析]［因为 , , , 所以 , 所以 , 当且仅当 即 时取等号， 所以当 取得最小值时， .故选 .］ 针对练2 已知函数 ，则( A ) A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值4 D. 有最大值 [解析] . 因为 ，所以 ， , 所以 ,当且仅当 ，即 时，等号成立.故 有最小值4.故选 .］ 考点二 基本不等式的常见变形及应用 讲练型 例2（1） [2022·宁波模拟]《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 , ，则该图形可以完成的无字证明为( D ) A