第1章 第3节 不等式性质与解不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第三节 不等式性质与解不等式 【课程标准】1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式. 知识分步 落实 1.两个实数比较大小的依据 关系 方法 作差法 作商法 或 或 2.不等式的基本性质 （1）对称性： ; （2）传递性： ， ; （3）可加性： , , ; （4）可乘性： , , , ; （5）可乘方： ; （6）可开方： . ［微提醒］　（1）同向不等式可以相加，不能相减；（2）一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变. ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 两个实数 , 之间，有且只有 , , 三种关系中的一种.( √ ) （2） 若 ,则 .( × ) （3） 同向不等式具有可加性和可乘性.( × ) （4） 两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母.( √ ) 2. （必修第一册P38例1改编）若 , ，则有( A ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以 .故选 .］ 学生用书第9页 3. （多选）下列结论正确的是( ACD ) A. 若 , ，则 B. 若 , ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 [解析] 选项，满足不等式基本性质的可乘性； 选项，当 时, 不成立； , 选项，满足不等式的可加性.故选 .］ 4. 若实数 , 满足 , ,则 的取值范围是 . [解析]因为 ,所以 , 因为 ,所以 . 巧记结论——即时应用 1.倒数性质 （1） , ; （2） ; （3） , ; （4） 或 . 2.有关分数的性质 若 , ，则 （1）真分数的性质 ， ; （2）假分数的性质 ， . 即时练1 已知 克糖水中有 克糖 ，若再添上 克水 ，糖水就变淡了，则此事实可用一个不等式表示为 . [解析]变淡了，意味着含糖量小了，即浓度低了. 即时练2 下列命题中，正确命题的序号是 . （1）若 ，则 ； （2）若 , ,则 ; （3）若 , ，则 . [解析]（1）中，由分数性质知（1）正确; （2）中，因为 ， ,不满足不等式的同向可加性，故（2）不正确; （3）中，因为 ,所以 , 同号，所以当 时， ，故（3）正确，故 正确. 考点分类 突破 考点一 比较两个数（式）的大小 自练型 1. 设 , ， , ，则 ， 的大小关系是( B ) A. B. C. D. [解析]［由题意得， ，又 , ,所以 .故选 .］ 2. 若 , ，则 与 的大小关系为( B ) A. B. C. D. [解析] , 因为 , ,所以 , . 若 ，则 ，故 ;若 ，则 ，故 .综上， .故选 .］ 3. 若 , ，则 （填“ ”或“ ”）. [解析]易知 , 都是正数， ，所以 . 4. 已知 , ，则 ， 的大小关系为 . [解析]法一: .所以 . 法二：令 , 显然 是 上的减函数， 所以 ，即 . 规律方法 比较大小的常用方法 1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论. 2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论. 3.构造函数，利用函数的单调性比较大小. 考点二 不等式的性质 讲练型 例1（1） [2022·滨州模拟]下列命题为真命题的是( D ) A. 若 ,则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 [解析]对于 选项，当 时，显然不成立，故 选项为假命题； 对于 选项，当 , ，满足 ，但不满足 ,故 选项为假命题； 对于 选项，当 , , 时， ，故 选项为假命题； 对于 选项，由于 ，所以 ，即 ,故 选项为真命题. 学生用书第10页 （2） （多选）若 ，则下列不等式正确的是( AC ) A. B. C. D. [解析]由 ，可知 . 中，因为 ， ，所以 , .故有 ，即 正确； 中，因为 ，所以 . 故 ，即 ，故 错误； 中，因为 ，又 ，则 ，所以 ，故 正确； 中，因为 ，根据 在 上单调递减，可得 ，而 在定义域 上单调递增，所以 ,故 错误. 规律方法 判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证. （2）利用特殊值法排除错误选项. （3）作差法. （4）构造函数，利用函数的单调性. 针对练1 [2022·珠海模拟]已知 , ，满足 ， , ,则( C ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,