2023年中考数学二轮专题培优复习：辅助圆问题（定角定高）

2023年中考数学二轮专题培优复习：辅助圆问题 定角定高 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　 　． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为 　 　． 3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 　 　． 4．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　 　． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转β得到线段AE，且α+β＝180°，连接BE，DE，CE． （1）如图①，设BE与AC交于点F，当α＝90°时． ①求证：BD2+DC2＝DE2； ②若BE平分∠ABC，此时BD＝，求AF的长； （2）如图②，当α＝120°时，若BC＝4，BD＜DC，延长AE交BC于点M，求△ADM面积的最小值． 6．【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 7．问题提出： （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝4，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决： （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 8．问题提出： （1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝　 　． 问题探究： （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值． 问题解决： （3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由． 9．[问题提出] （1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，AD＝7，则点D到直线AB的距离是 　 　． （2）如图2，已知点A是直线外一点，点B、C均在直线上，AD⊥l且AD＝2，∠BAC＝45°，求△ABC面积的最小值； （3）如图3，某农场主想在空地上规划出一块形如四边形ABCD的田地，AB＝BC，AD＝CD，∠BAD＝120°，他计划在面积为16平方米的四边形AEOF内种植蔬菜，其余区域种植玉米．根据设计要求：点O、点E、点F分别在对角线BD、边AB和边AD上，且OE＝OF，∠EOF＝60°，为了节约种植成本，要求四边形田地的面积尽可能的小，则四边形ABCD的面积是否存在最小值，若存在，请说明理由． 10．问题提出 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥BC，交AD的延长线于点E，若△ABC的面积为4，则△DCE的面积为　 　． 问题探究 （2）如图②