2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛 广西赛区选拔赛试题 (考试时间：2023年5月21日9：00-11130) 一、填空甜（本大题共8小题，每小图10分，共60分.） 1.2f(x)= 本京·f=/闭.国=，五)=fU.则国=人 之记y=sin,-;ss三的反函数为y=arcsin,则当二云Sx≤石时aresin(eos=A一 2 3.设()在区间(-山)内有定义，则fx)能表示成一个偶函数gx)与一个奇面数(x)之和，其中 g()=A一·)=A一 4.设A={(a,B,y)川a+Bsinx+ycosx=0,xe(-,+n,划集合A的元素的个数m=△一 5.椭倒2+2y2■3图绕y轴旋转一周得到做转曲面Σ.设P代x,八，)是工上的一点，则x2+22 4:2=A 6.在0，门上存在函数f(x)满足下列两个条件：(1)fx)有反函数：《2)f)在[0，】的任意的子区 [a,b1上品不是单调的。时如，fx)=▲一 7.设fx)=x-x-anx,其中[为不超过x的最大整数，则T/x+T)=f(x,T≠0=A 8设m为正整数。对任盒充分小的正数，若m>m是片<阳的一个充分必变条件，则阳和口的关系 是阴■A 二、解答题（本大感共4小题，共70分.解答应马出文字说明、证明过程或演算步理.） 1.(本小赠满分15分)没S是以定点B为球心半径为r的球面，开是一个圆定平面，月到开，的距离 口>r,设S,是以点M为球心的球面，它与S。外切并与开，相切.令A为满足上述条件的球心M构成的 果合，设平面示与。平行且在：上有A中的点。设d是平面云与：。之间的距离，求d的最小值m, 2.(本小题满分15分)设函数fx)在区间1上有定义，若fax+1-a)x,)safx)+0-a)/x,) 第1项 对任的实数与·、e1和任意的ae(0,)恒成立，别称函数f)为区间1上的-个凸函数.创如 f(x)=e'是(-D,+0)上的-个凸函数 设p>hg>1.片1，与>0，为>01≤表5.a>0.b>0.组上达粗关妇阴： p q (Young不等式a'+b之b: amo不等立s空)区， 3体小超满分0分》a05a,59、=0a,,(期a品广得治一品人 其中a,4,a,a,…中有无观多项不为0.则称a为一个十进无限小数.设日为一个十进剩无限小数，若 存在白然效，太使得a=口对任意的白热数i均成立，划称和为一个福环小兹：否则，称口为一 个不福环小数的如。0.19898…98…和0.8=0.7999是福环小数.正=0314159…是一个不箱 10 环小数，已如(0.门的每个数均与一个十速制无限小尊一一对应。 1)求证：若(a,b)c(0,),则#在循环小数c∈(a,b),即，循环小数在0，)中稠密 2)求证：(0，门中所有的数不能接列成一个数刻a,口：a1,,a·即：0，】是一个不可数集 (31用分数表示福环小数a=0.365365-365…, 4.(本小盟满分20分)设a,}为一个数列，记a,+a:++a.+…为∑a.·S.=∑a:若对任 意的正数M均仔在相应的自然数N,当n>N时S>M,则称∑a.=+.若∫：乙，→乙.是正整数 集乙.上的个一对应。赠称f./(2以.f以…是乙，的一个重推.称∑b.(其巾6.=@o) 是∑口，的-个瓶珠.米证 四w 四有r公价个。，点= 弟2到第 1 页 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛 广西赛区选拔赛试题参考答案 （考试时间：2023 年 5 月 21 日 9：00-11：30） 一、 填空题（本大题共 8 小题，每小题 10 分，共 80 分.） １． 21 x nx 2． , 0 2 , 0 2 x x x x                3． 1( ) ( ( ) ( )) 2 1( ) ( ( ) ( )) 2 g x f x f x h x f x f x           4． 1 5． 3 6．（答案不唯一） , [0,1] Q ( ) 1 , [0,1] QC x x f x x x        7． 8． 1[ ]a 二、 解答题（本大题共 4 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.） 1. （本小题满分 15 分）设 0S 是以定点 0P 为球心半径为 r的球面， 0 是一个固定平面， 0P 到 0 的距离 a r ．设 MS 是以点M 为球心的球面，它与 0S 外切并与 0 相切．令为满足上述条件的球心M 构成的 集合．设平面 与 0 平行且在 上有中的点．设 d 是平面 与 0 之间的距离，求 d 的最小值m． 解：过 0P 作 0 的垂线，交 0 为O．以O为原