重庆市2023届高三临门一卷（一）数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试·临门一卷（一） 数学 本试题卷共4页.全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 6. 一排10个座位，现安排甲、乙、丙三人就座，规定中间的2个座位不能坐，且甲、乙相邻，甲、乙与丙不能相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 56 B. 44 C. 38 D. 32 7. 设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分．有选错的得0分． 9. 下列为真命题的有（ ） A. 90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5 B. 设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 C. 甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 D. 已知随机变量，且，则 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 11. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点M的运动轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形 12. 已知函数是定义在R上偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 区间上有且只有一个零点 C. 在区间上单调递增 D. 区间上有且只有两个极值点 三、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分． 13. 已知，则______. 14. 已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________． 15. 已知数列的前n项和满足，则_________． 16. 已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________． 四、解答题：本题共6小题．共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足，等差数列前n项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 2023年3月中旬，我国很多地区出现倒春寒现象，突然大幅降温，河南下起了暴雪.研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某数学建模兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒学生人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，查阅了这六天中每天去校医新增患感冒而就诊的学生人数，得到数据如下表： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：． （1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有6位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； （2）求出y关于x经验回归方程，且据此估计昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数（用四舍五入法结果保留整数）． 附：． 19. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且． （1）求角A的大小； （2）若，求S的