新疆维吾尔自治区阿勒泰地区2023届高三三模数学（理）试题

2023年高考素养调研第三次模拟考试 理科数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的指定位置上． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、科别等信息填写在答题卡的密封线内． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（ ） A. 2和3 B. 0和2 C. 0和3 D. 2和4 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 6. 函数在上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 7. 正方体中，分别是棱的中点，则平面与平面所成角为（ ） A B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到） A. B. C. D. 9. 有一个圆锥形铅锤，其底面直径为，母线长为．P是铅锤底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅锤的侧面积为；②一只蚂蚁从P点出发沿铅锤侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为．其中正确的判断是（ ） A ①②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①②都错误 10. 和分别是双曲线的左，右焦点，A和B是在双曲线左支的两个点，满足且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 已知平面向量，满足，则________． 14. 已知正（O为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长等于_______． 15. 从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率为________． 16. 在中，，为边上的中线且，则的取值范围是________． 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答题卡的相应各题中写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 若数列的首项为1，且． （1）求证：是等比数列； （2）若，求证：数列的前项和． 18. 在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点的位置，如图②． （1）证明：； （2）若平面，求直线与平面所成角的余弦值． 19. 近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成，北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于，实测的导航定位精度都是，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优． （1）欧洲某城通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率（保留四位小数）； （2）某地区基站工作人员从30颗卫星中随机选取2颗卫星进行信号分析，记为选取的2颗卫星中含地球静止轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望． 附：若，则，． 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数，其中为非零常数． （1）讨论的极值点个数，并说明理由； （2）若，证明：区间内有且仅有1个零点． 选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用铅笔