2023年中考数学二轮专项练习：二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线与抛物线交于，两点，与直线交于点．若是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，是否存在一个值，使得，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由； ②当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求出点的坐标． 3．如图，抛物线与直线l:交于点A（4，2）、B（0，﹣1）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t． ①用含t的代数式表示DE的长； ②设Rt△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标． 4．已知抛物线L：y＝x2﹣4x＋2，其顶点为C． (1)求点C的坐标； (2)若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 6．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点P(m，-1) 连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，且点是抛物线的顶点． (1)若，抛物线经过点(2，2)，当时，求的取值范围； (2)已知点A(1，0)，若抛物线与轴交于点，直线与抛物线有且只有一个交点，请判断的形状，并说明理由． 7．定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“好点”，例如，点是函数的图像的“好点”． (1)在函数①，②，③的图像上，存在“好点”的函数是______（填序号） (2)设函数与的图像的“好点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求k的值； (3)若将函数的图像在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图像的其余部分组成了一个新的图像．当该图像上恰有3个“好点”时，求m的值． 8．如图，已知二次函数的图象交x轴分别于A，D两点，交y轴于B点，顶点为C． (1)求抛物线的对称轴； (2)求； (3)在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数，的图象的对称轴与x轴交于点，图象与y轴交于点，已知C，D为该图象上两动点（点C在点D的右侧），且． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求的值； (3)是否存在其它位置的点C，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 10．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标． 11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）判断△BCD的形状，并说明理由； （3）点为该抛物线上一动点P （与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴交于点A和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴与x轴交于