湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校2023届高三下学期5月联考数学试题（2023.5.18）

2023年高三下学期5月三校联考 高三数学试卷 命题学校：宜昌一中命题教师：高三数学备课组审题学校：荆州中学、龙泉中学 考试时间：2023年5月18日下午15:00—17:00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．已知复数是关于的方程（）的一个解，则复数在复平面内对应 的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面向量，，满足，，且．若，则 A． B． C． D． 4．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最 大夹角为．现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为，高为．现在为了节 省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分 呈圆锥形．已知该容器的底面半径为，则该容器的高至少为 A． B． C． D． 5．若，，则等于 A． B． C． D． 6．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打 球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了 泳，则上午打球的概率为 A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，．直线 为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，，，三点共线．若 ，，则 A． B． C． D． 8．设函数，若正实数使得存在三个两两不同的实数，，满足，， ，恰好为一个矩形的四个顶点，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱锥的所有棱长相等，，分别是棱，的中点，则 A． B．面 C． D．面 10．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数(人)的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则 A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大 11．已知函数在上有最大值，则 A．的取值范围为 B．在区间上有零点 C．在区间上单调递减 D．存在两个，使得 12．在平面直角坐标系中，已知点是圆上的一个动点，直线与 圆交于另一点，过点作直线的一条垂线，与圆交于点，则下 列说法正确的是 A． B． C．若，则 D．的最大正切值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知的展开式的第7项为常数项，则正整数的值为________． 14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为________． 15．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将 它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后， 一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照 上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的的所有不同值的和为________． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，，是其准线上的两个动点，且 ，线段，分别与抛物线交于，两点．记的面积为，的面积 为．当时，________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知数列的各项均不为0，其前项和满足，，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18．（12分） 在中，角，，所对的边分别为，，，面积为，已知． （1）若，求； （2）若，，求的面积． 19．（12分） 如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 20．（12分） 某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP 的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2 位）； （2）若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试 估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比