高考数学临门一脚情境化试题1 讲义——2023届湖北省武汉市优质资源共享计划

1.函数（）恰有三个不同零点，则实数的取值范围为： ．（供题人：蒋志方） 【试题解析】思路一，转化与化归：研究方程的根，也即研究与图像三个公共点问题．当时，由图像知有一个零点. 当时，对函数图像的准确性要求很高，几何直观难办到. 思路二，分离变量，向熟悉函数转化：方程的根， 两边同取对数，也即，也即研究，即研究与的图像公共点个数，而是奇函数，只需要研究时图像，结合对称性画出另一侧图像： （）（大熟悉了，导数中基本型函数），，知其先增后减，， 如例题中图（复杂函数作趋势图像）：得，即． 【命题意图】主要考察学生数形结合思想，直观想象、逻辑推理等数学核心素养，动态函数直接利用几何直观无法达到目的，转化为常数函数与静态函数，想到分离变量，两边同时取对数就并非“无源之水”，是数学思维碰撞. 【考查知识点】函数零点，指对运算，函数的奇偶性，单调性， 【考查思想】转化与化归，函数与方程，数形结合 2.在一个模拟投资者游戏中，投资者进行一轮投资，只有投资成功和失败两种可能性，且每一轮投资成功的概率与失败的概率相等，每轮投资成功可获利1万元，每轮投资失败则亏掉1万元．投资者投资一轮结束后再进行下轮投资，游戏会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束游戏：一种是投资者手中资金为0万元，即投资完败,投资者停止游戏；一种是投资达到预期的B万元，投资者停止游戏．记投资者的本金为万元，游戏过程如下图的数轴所示． 当投资者手中有n万元（，）时，记最终投资完败的概率为，则 ；若,则 ；（供题人：蒋志方） 【试题解析】 【第1空解答】当时，投资完败，游戏结束，因此. 【第2空详解】 记M为事件：投资者有n万元，最后输光；N为事件投资者有n万元，下一轮投资成功, , 即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，由得， 故,即,又，所以 【命题意图】 主要通过数学情景设计，考察学生的数学阅读理解能力，逻辑推理、数学建模等数学核心素养，此题背景深厚，与时俱进。题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解, 【考查知识点】事件间的关系，条件概率，等差数列. 【考查思想】转化与化归，函数与方程，要求学生不仅会分析事件间的关系，还要能从事件关系，反过来构建概率方程.考查了学生的随机思想与运用概率基本性质解决问题的能力，逻辑推理、数学建模等数学核心素养 【命题背景】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 3.在一个暗盒中装有2个黑球和2个白球，每个球被摸到的可能性相同.现在从中随机取一个球，记录取到球的颜色，然后放回，如此重复操作次，记事件A表示这次取球中既有黑球，也有白球；记事件B表示这次取球中最多有一个黑球.已知事件A和事件B相互独立，则 .（供题人：蒋志方） 【试题来源】背景来源：课本必修二第244页第10题，课本必修二第264页第5题，课本必修第一册第143页例1，课本选择性必修三第45页，条件概率引例问题2， 【试题解析】概率求解，分类讨论与正难则反：含“最多，至少”等字眼的事件求解，通常分类讨论，若分类较多，可考虑正难则反，对立事件. 事件A表示这次取球中既有黑球，也有白球， 事件B表示这次取球中最多有一个黑球， 事件AB表示这次取球中恰有一个黑球， 函数建模：根据事件A和事件B相互独立得： 化简得：，解得 思路一：利用函数图像 思路二：利用导数 设，则，当时， ，所以在上单调递增， ，所以有唯一解3，所以 【考查知识点】事件间的关系，事件独立性的概率关系. 【考查思想】转化与化归，函数与方程，数形结合，要求学生不仅会分析事件间的关系，还要能从事件关系，反过来构建概率方程. 求解方可以利用函数图像数形结合得方法求解，也可以利用导数，判断函数的单调性，本质上考查方程与函数思想. 【命题意图】 主要涵盖事件的关系，概率的性质，独立事件的概率，古典概型等知识点，着重考察学生逻辑推理，数学建模以及数学运算等数学核心素养，以及函数与方程，数形结合等思想方法 4.（多选题）在中，，点满足，点是在的内心，且，则 （供题人：柯希湖） A.动点在双曲线上 B.动点在椭圆上 C.存在点使得 D.使得为等腰三角形的点恰有个 解析：ACD 以中点为原点，以所在直线为轴建系如图， 由内心性质：， 故， 故点的轨迹在双曲线