高考数学临门一脚情境化试题 讲义——2023届湖北省武汉市优质资源共享计划

临门一脚情境化试题 1.比萨斜塔是意大利著名地标之一，建造于1173年8月，位于意大利比萨城，外墙面均为乳白色大理石砌成，由于地质结构的原因，1174年首次发现倾斜，比萨斜塔从地基到塔顶高58.36米，从地面到塔顶高55米。某校课外实践小组准备了一个圆柱体，它的底面半径为5cm，母线长为20cm，最左侧和最右侧的母线分别为AA1和BB1，如图，为了制作斜塔模型，小组成员将圆柱体放在一个平整且均匀的水平沙盘上，并向右倾斜且圆柱的下底面均位于沙盘的表面或者下方，点A恰好位于沙盘表面，放置后水平沙盘平整且均匀，此时圆柱体最右边的母线BB1露在沙盘外的长度为19cm，则圆柱体露在沙盘表面外的部分的表面积为:_________.195cm2 命题思路： 背景：图形的对称性，应用意识。 解题思路：由对称性知，被沙子盖住的部分的面积为cm2 ∴露在外面的部分的面积为：cm2. 2.如图，正四棱锥P-ABCD中，点A在水平底座内，B，C到底座的距离分别为3，6，AB=9，PA=15(单位：cm),则点P到底座的距离为:________cm. ( d H )命题思路： 背景：图形的旋转，考察空间角和距离，同时也考察学生的空间想象能力。 解题思路：由题意知：B,D到平面的距离相等，因此可以构造模型， 正四面体P-ABCD绕BD旋转至A点在平面内，取BD中点O,d为点O，C ( O )到平面的距离之差，过C作CH垂直平面，过O作OH垂直CH于H,则 ，所以图形旋转了30°， ∴点P到平面的距离为PO×sin(90°-30°)+3=12×sin60°+3=3+6. 3.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，也可以对事件“”的概率作出下限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数的最小值为 【解析】由已知 ，所以 ， 若 ，则 ，即 ， 即 .由切比雪夫不等式， 要使得至少有99%的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，则， 解得 ，所以估计信号发射次数的最小值为625； 综上，估计信号发射次数的最小值为625. 【设题意图】考察学生在不同的数学情景中对数学进行认识，解释与使用能力，充分认识到数学学科的应用意义，并将数学知识灵活的运用到现实世界，使学生够更加关注生活，热爱生活. 4.设直线与双曲线（）的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是 ． 【设计思路】中点弦的运用；计算的优化． 【参考答案】解：设，的中点 则：，两式相减并整理得， 联立，解得： 故： 5.已知椭圆的左、右焦点分别为,直线过点且与交于A,B两点. （1）求面积的最大值及此时直线的方程； ( y )（2）在（1）的条件下，过点P(4,0)的直线交椭圆于M,N，交于D，设直线F1M,F1D,F1N的斜率分别为，是讨论是否为定值，若是，请求出这个值，若不是，请说明理由。 命题思路： ( N ) ( D ) ( M )背景：极点极线及调和点列。 ( F 2 ) ( F 1 ) ( x ) ( O )解题思路： (1)解：设直线AB方程：x=my+1,（显然m存在）带入椭圆方程有： ，设A(x1,y1),B(x2,y2),则： …………………………2分 ∴，m=0时取“=”。 ∴ 所以面积的最大值为，此时直线的方程为x=1. …………………………6分 (2)设设直线AB方程：x=ny+4,（显然n存在）带入椭圆方程有： ，设A(x3,y3),B(x4,y4),则： ∴为定值2. …………………………12分 6.设函数， （1）若对恒成立，求的取值范围. （2）若，当时，求证：. 【解析】 （1）， 当时，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，由得. 当时，则对恒成立， 所以在区间上单调递增，且，所以不符合题意. 故的取值范围为 . …………………………4分 （2）证明：因为，所以， 得. 若或，则结论显然成立. 当时，. 令，，， 所以为单调递增的函数，则证明证明， 而，所以等价于证明，即证明， ， 令， ， 得在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以， 因为，所以，所以，故得证