8.2 一元线性回归模型与应用 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.2.1一元线性回归模型与应用 1 复习回顾 为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系 残差平方和： 残差：实际值与估计值之间的差值，即 建模 复习回顾 　　对于一组具有线性相关关系的数据(x1 ，y1 ) ，(x2 ， y2)，···， (xn ，yn)， 记　　　　　　　　　，其回归直线Y＝bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 我们将 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计． 算模 课堂探究 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 对于上表中的数据，利用公式(2)可以计算出 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 相应的经验回归直线如下图所示. 课堂探究 问题1: 当x=176时， ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？ 儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 如果把父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体均值的估计值. 课堂探究 问题2：根据经验回归方程中斜率的具体含义，高个子的父亲一定生高个子的儿子吗？同样，矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗？ 问题3：建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画数据的效果进行分析，如何分析？ 验模 残差分析 定义残差为=yi-，残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析. 课堂探究 对于右表中的第6个观测,父亲身高为172cm,其儿子身高的观测值为y==176(cm),预测值为96=0.839×172+28.957=173.265(cm),残差为176-173.265=2.735(cm).类似地,可以得到其他的残差,如表所示. 为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图下所示. 残差图： 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 160 165 170 175 180 185 残差/cm 父亲身高/cm • • • • • • • • • • • • • • 观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边. 说明残差比较符合一元线性回归模型的假定. 根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值. 对数据刻画效果比较好的残差图特征：残差点比较均匀的集中在水平带状区域内．　 思考 观察下列四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定? 通过观察发现，图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内. 所以在四幅残差图中，只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设. 课堂探究 问. 在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题? 解：分析残差可以帮助我们解决以下几个问题: (1) 寻找残差明显比其他残差大很多的异常点，如果有，检查相应的样本数据是否有错. (2) 分析残差图可以诊断选择的模型是否合适，如果不合适，可以参考残差图提出修改模型的思路. 课堂探究 　　【例】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位： 亿吨）的折线图. 　　(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用 相关系数加以说明． 　　(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活 垃圾无害化处理量． 课堂探究 　　解:(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t=4， 因为y与t的相关系数近似为0.99，所以y与t的线性相关程度相当高，从而可以用 经验回归模型拟合y与t的关系. 　　(2)由