2023届普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（一）

绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试 数学押题卷(一)参考答案 命题细目表 题型 题号 考点 考察内容 难度系数 选择题 1 集合 交集及其运算 0.9 2 复数 复数的运算，纯虚数的概念 0.85 3 几何体的表面积 球的表面积 0.7 4 平面向量 向量夹角余弦公式，向量垂直 0.75 5 计数原理 排列组合和简单计数原理 0.65 6 三角函数 同角三角函数，二倍角公式 0.6 7 双曲线 圆锥曲线性质和方程 0.55 8 函数的性质及其应用 函数的零点，数形结合 0.5 多选题 9 数列 等差数列，等比数列的性质 0.7 10 概率与统计 正态分布曲线的特点 0.75 11 不等式 函数单调性，构造函数 0.6 12 抛物线 抛物线的定义，抛物线的最值与范围 0.45 填空题 13 导数几何意义 利用导数求切线方程 0.8 14 数列 数列递推式，数学归纳法 0.75 15 几何体的体积 三棱柱外接球，棱锥体积 0.5 16 函数方程 函数零点与方程根的关系 0.45 解答题 17 数列 等差数列，等比数列，错位相减 0.6 18 解三角形 三角形外心，余弦定理 0.65 19 概率与统计 独立事件，二项分布 0.55 20 空间向量与立体几何 线面垂直，二面角 0.6 21 椭圆 内切圆，直线与椭圆的位置关系 0.4 22 导数及其应用 三角函数与导数结合，不等式恒成立 0.15 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣1，3） C．（﹣2，3） D．（﹣1，2） 【考点】交集及其运算．版权所有 【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算． 【分析】求解绝对值的不等式化简B，再由交集运算得答案． 【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}， ∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣2＜x＜2}＝（﹣1，2）． 故选：D． 【点评】本题考查交集及其运算，考查绝对值不等式的解法。 2．已知z（1+ai）＝1﹣2i，若复数z为纯虚数，则实数a＝（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．版权所有 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算． 【分析】设出复数z，再结合复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，即可求解． 【解答】解：设z＝bi（b∈R，b≠0）， ∵z（1+ai）＝1﹣2i， ∴﹣ab+bi＝1﹣2i，即，解得a． 故选：C． 【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的相等性准则。 3. 蹴鞠（如图所示），已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点A、B、C、P，且球心O在PC上，AC＝BC＝2，AC⊥BC，tan∠PAB＝tan∠PBA，则该鞠（球）的表面积为（　　） A．5π B． C．9π D．14π 【考点】球的体积和表面积．版权所有 【专题】计算题；对应思想；分析法；球；数学运算． 【分析】过点P作PD⊥AB，在△ABC中，根据AC＝BC＝2，AC⊥BC，求得，在△PAB中，根据，求得PB，再根据球心O在PC上，得到PC为球O的直径，再由求得半径即可． 【解答】解：如图所示： 在△ABC中，因为AC＝BC＝2，AC⊥BC， 所以AB2＝AC2+BC2＝8，即， 在△PAB中，' 所以∠PAB＝∠PBA，即△PAB是等腰三角形， 过点P作PD⊥AB，则BD＝AD， 因为， 所以， 又球心O在PC上，故PC为球O的直径， 所以， 即2R＝3，解得， 所以该球的表面积是S＝4πR2＝9π． 故选：C． 【点评】本题考查球的表面积，考查学生的运算能力。 4.若向量，满足，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【考点】数量积表示两个向量的夹角．版权所有 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算． 【分析】根据条件可得出，然后即可求出的值，从而得出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴与的夹角为． 故选：C． 【点评】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件