第2章　一元二次方程　同步练习　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

第二章 一元二次方程 考点一、方程的解： 1. 根据方程x2﹣3x﹣5＝0可列表如下（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6 x2﹣3x﹣5 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13 则x的取值范围是（　　） A. ﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5 B. ﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6 C. ﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D. ﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 【答案】D 考点二、解方程 配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 解方程： （2）x2－4x－12＝0． 【答案】 【详解】解： 解：， 4. 解方程：x2－4x＋3＝0．， 【小问2详解】 解：x2－4x＋3＝0 或 ∴． (2) ， ， ， ， 或， ，．  换元法解一元二次方程： 5. 关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（　　） A. x1＝－3，x2＝1 B. x1＝2m－3，x2＝1 C. x1＝2m－3，x2＝1－2m D. x1＝－3，x2＝1－2m 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程变形为，令，再根据已知方程的解可得，由此即可得． 【详解】解：方程可变形为， 令，则方程为， 由题意得：， 所以， 所以， 即方程的解是， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确找出两个方程之间的联系，并熟练掌握换元法是解题关键． 6. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值； a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1； ∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________； （2）用配方法因式分解：a2－12a＋35． （3）若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________； （4）已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________； 【答案】（1）25； （2）； （3）； （4）． 【小问1详解】 解：； 故答案为：25； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当，即时，取最小值，最小值为； 故答案为：； 【小问4详解】 解：， ， 即， ，，， ，，， 解得：，， 则． 故答案为：． 7. 利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值： 2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 ＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6 ＝2（x﹣1）2﹣8 又∵2（x﹣1）2≥0 ∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m﹣7； （2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值； （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值． 【答案】（1）（m+1）（m﹣7） （2）当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3 （3）13 【解析】 【分析】（1）仿照例1的解题思路，利用配方法即可解答； （2）仿照例2的解题思路，利用配方法即可解答； （3）利用配方法可得（a-4）2+（b-3）2=0，再利用偶次方的非负性可求出a，b的值，