上海市金山中学2023届高三下学期核心素养检测数学试题

金山中学2022学年第二学期高三数学核心素养检测 （时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 若，则__________． 2. 已知复数满足，__________． 3. 若，则________． 4. 若点在角的终边上，则__________． 5. 的二项展开式中，常数项为___________． 6. 若平面向量与的夹角为120°， ， ，则____． 7. 圆柱容器内部盛有高度为2的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为__________． 8. 某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，至少有名学生的成绩高于的概率是__________. 9. 已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______. 10. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为________． 11. 已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是__________. 12. 定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解集为______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 下列说法正确的有（    ）个 ①已知一组数据的方差为， 则的方差也为. ②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. ③已知随机变量服从正态分布，若，则 . ④已知随机变量服从二项分布，若，则. A. 0个 B． 1个 C．2个 D．3个 15. 已知数列的前n项和为，且，则使得成立的的最大值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 16. 如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分． 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知． （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为？ 18. （本题满分14分） 本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 设． （1）是否存在使得为奇函数？说明理由； （2）当时，求证：函数在区间上是严格增函数． 19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 抽屉中装有双规格相同的筷子，其中双是一次性筷子，双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求： （1）在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率； （2）取了次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望. 20. （本题满分18分） 本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分． 已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程； (3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 21. （本题满分18分） 本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分． 已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且. (1)求的解析式； (2)求函数的极值； (3)设，若存在实数，，使得成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 金山中学2022学年第二学期高三数学核心素养检测参考答案 （时间120分钟 满分150分） 一、填空题 1. 2. 3. 6 4. 5. 15 6. 7. 3 8. 9. 10. 8 11. 12. 二、选择题 13.B 14.C 15.C