专题02直线与直线的位置关系（6个知识点4种考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

专题02直线与直线的位置关系（6个知识点4种考法） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：公理 ４　 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ． 知识点2：等角定理 　 知识点3：等角定理的2个推论 知识点4：异面直线 知识点5：异面直线判定定理 知识点6：异面直线所成的角 【方法二】 实例探索法 考法1：公理4的应用 考法2：等角定理 考法3：空间两直线的位置关系的判断 考法4：两异面直线所成的角 【方法三】 成果评定法 【教学重点】 通过观察实景与长方体模型，不难发现两条直线平行关系的传递性可以从平面推广到空间（公理4），要求学生理解并会应用公理4证明空间直线的平行关系。理解等角定理，体会等角定理证明过程中的思想方法。 通过观察，抽象形成异面直线的概念，理解异面直线的定义，理解空间直线与直线位置关系的分类。会用异面直线判定定理与反证法判断和证明两条直线是异面直线。 类比平面上相交直线的夹角，理解异面直线所成角的概念，会在简单的情形中通过平移求两条异面直线所成角的大小。初步体会空间问题平面化思想。 空间直线与直线位置关系的研究思路和方法，对后续直线与平面、平面与平面位置关系的研究具有指导作用，也是研究直线与平面、平面与平面位置关系的基础。 【倍速学习三种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：公理 ４　 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ． （1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行． （2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c． （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行． 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性． 公理4证明空间两条直线平行的步骤 （1）找到直线； （2）证明，； （3）得到． 知识点2：等角定理 　 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 ， 那么这两个角相等 （1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （2）符号语言： 如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°． 图（1） 图（2） 知识点3：等角定理的2个推论 推论 １　 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论 ２　 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 知识点4：异面直线 不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线（ ｎｏｎｃｏｐｌａｎａｒｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ ） 空间的两条直线就有三种不同的位置关系 知识点5：异面直线判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 知识点6：异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． （1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上． （2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路． 2．异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为． 3．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 4．构造异面直线所成角的方法 （1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线； （2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点； （3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角． 5．求两条异面直线所成的角的步骤 （1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）； （4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 【方法二】实例探索法 考法1：公理4的应用 证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义； （2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例