2023年中考数学高频考点突破——二次函数与一次函数

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与一次函数 1．设一次函数和二次函数． (1)求证：，的图象必有交点； (2)若，，的图象交于点、，其中，设为图象上一点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，如果存在点在的图象上，且，求m的取值范围． 2．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”． (1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则______________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则_____________； (2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数（a，b是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，且满足，如果，请直接写出k的取值范围． 3．开口向下的抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，是等腰直角三角形，面积为4．并与一次函数的图象相交于点M，N． (1)求抛物线的解析式； (2)若，平移直线，使得该直线平分的面积，求平移后直线解析式． (3)在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知一次函数的图像过点，，是二次函数图像上的两点． (1)若该二次函数图像的对称轴是，分别求出一次函数和二次函数的表达式； (2)当点A、B在二次函数的图像上运动时，满足，求m的值； (3)点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线交于点P、Q，当时，求n的值． 5．如图，二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围； (3)过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围． 6．如图，反比例函数与一次函数相交于点A（1，4）和点B（4，1），直线 的图象与y轴和x轴分别相交于点C和点D； (1)请直接写出当时自变量x的取值范围； (2)将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF，直线EF与x和y轴分别交于点E和点F，抛物线过点A、D、E三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）； (3)在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBF是以BF为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“三高四新”点，经过的函数，称为“三高四新”函数． （1）下列函数是“三高四新”函数的有_____； ①        ②    ③        ④ （2）若关于x的一次函数是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围； （3）关于x的二次函数的图象顶点为A，点和点是该二次函数图象上的点且使得，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由． 8．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k系和谐函数”． （1）已知正比例函数y＝5x（1≤x≤4）为“k系和谐函数”，请求出k的值； （2）若一次函数y＝px﹣3（1≤x≤4）为“3系和谐函数”，求p的值； （3）已知二次函数y＝﹣2x2+4ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k系和谐函数”，求k的取值范围． 9．若函数、满足，则称函数y是、的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则、的“融合函数”为． （1）若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值； （2）若为二次函数，且，在时取得最值，是一次函数，且的“融合函数”为，当时，求函数的最小值（用含的式子表示）； （3）若二次函数与一次函数，其中且，若它们的“融合函数”与轴交点为、，求的取值范围． 10．投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自《九年级下册教材》P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用．若平面直角坐标系中，规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”， 记为“l”．AB两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线AB，其中A（，1）、B（1，3），则曲线AB在x轴上的的“影长”l为4，在x轴上的“影长范围”为． （1）已知反比例函数的部分图像在y轴上的“影长范围”是，求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”． （2）若二次函数的部分图像在x轴上的“影长范围”是，且在y轴上的“影长范围”的最大值为10，求满足条件的a的值． （3）已知二次函数与