专题05 分式与分式方程(培优考点)-《期末压轴题》2022-2023学年八年级数学下册必考专题复习攻略（北师大版）

专题05 分式与分式方程(培优考点) 【考点导航】 目录 【典型例题】 3 【考点一 分式的判断】 3 【考点二 分式有意义】 4 【考点三 分式的值为零】 5 【考点四 分式的基本性质】 7 【考点五 分式的混合运算】 9 【考点六 分式化简求值】 12 【考点七 解分式方程】 14 【考点八 列分式方程】 17 【考点九 分式方程的应用】 19 【聚焦考点】 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式. 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0. 【知识点2 分式的基本性质】 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. ；（C≠0）. 【知识点3 分式的乘除法法则】 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分.即： 2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘.即： 3）分式的乘方：分子、分母分别乘方.= 4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减.同级从左至右依次计算.有括号的，先算括号中的，在算括号外的. 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 【知识点4 分式的加减法则】 1）同分母分式：分母不变，分子相加减 2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低.若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算. 【知识点5 分式方程】 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程 （2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程. （3）分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 ②解整式方程 ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 ④作答 【知识点6 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】 （1）方程无解，即方程的根为增根； （2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围； （3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围 【知识点7 增根的讨论】 方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值. 【典型例题】 【考点一 分式的判断】 【例题1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式：中，分式有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据负整数指数幂，分式的定义即可求出答案． 【详解】解：，，，是分式，共有4个，，，是整式， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【变式1-1】（2023春·四川巴中·八年级统考期中）在代数式 ，，，，中，分式共有（　  　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据分式的定义（分母中含有字母）判断即可； 【详解】解：分母中含有字母的代数式有：，，，共3个， 故选B 【点睛】本题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题关键． 【变式1-2】（2023春·江苏常州·八年级统考期中）代数式、、、、中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：与是分式，共2个； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母． 【变式1-3】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）式子，，，，，中，分式有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据分母的整式中含有字母的整式商叫做分式判断即可． 【详解】是分式的有，，，，共四个， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【考点二 分式有意义】 【例题2】（2023·河南郑州·校考一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ． 【答案】且 【分析】根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数是非负数以及零指数幂的性质解答． 【详解】解：根据题意，得：且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件以及零指数幂，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】