第十九讲 平面向量概念及 讲义——2023届高三数学一轮复习

第19讲 平面向量概念及运算 一．知识梳理 知识点一：平面向量的有关概念 （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量． （2）表示方法：用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．用字母或用，，…表示． （3）模：向量的长度叫向量的模，记作或． （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向不确定． （5）单位向量：长度为个长度单位的向量叫做单位向量． （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线． （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量． 知识点二：向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． （2）法则：三角形法则；平行四边形法则． （3）运算律：①；②． 知识点三：向量的减法 （1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． （2）法则：三角形法则；平行四边形法则． 结论：已知向量，则有． 知识点四：实数与向量的积 （1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作． 规定：，当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，与平行． （2）运算律：． 知识点五：两个重要定理 （1）向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得，即． （2）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使． 知识点六：数量积的概念 （1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量和，作，，则叫做向量和的夹角，记作． （2）数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即． （3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积． 知识点七：数量积的性质 设是单位向量，． （1）； （2）当与同向时，；当与反向时，； 　　特别地，，或； （3）；（4）；（5）． 二．经典例题 题型一：概念 【例1】下列命题正确的是：. （1）若，则一定不与共线； （2）若平行，则四点是平行四边形的四个顶点； （3）在平行四边形中，一定有； （4）若向量与任一向量平行，则； （5）若则； （6）； （7）；（8）∥； （9）. （10）若∥，则； （11）若为非零向量，为单位向量，则； （12）与非零向量共线的单位向量为； （13）单位向量都共线，共线的单位向量都相等. 【变式】以下命题： （1）向量不共线，则向量与向量必不共线； （2）若，且，则则； （3）向量平行就是所在的直线互相平行； （4）若非零向量满足，则． 所有真命题的序号是______________． 题型二：线性运算 线性表示 【例2】在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，则（ ）． A． B． C． D． 【变式】如图，在中，，，与交于点，设，，以、为基底表示. 面积比 【例4】已知,为内的一点，且，求 【变式】已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（ ） A．　　　　 B． C．　　　 D． 【答案】B 最值 【例5】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________. 【变式】如图，中，为中线上的一个动点，若，则的最小值是 . 1．求模长、角度 【例6】向量是夹角为的两个单位向量，则向量与的夹角为 . 【变式】已知，， （1）求； （2）求向量在向量方向上的投影. 2．求最值 【例7】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。 题型四：综合 【例8】已知是平面上的一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足, , 则动点的轨迹一定通过的( ). A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【例9】如图所示，设是的重心，过的直线与分别交于和，已知，求证：． 课后作业 1．在梯形中，已知，，，分别为，的中点．若，则________． 2．设在的内部，且有，则的面积和的面积之比为________． 3．若非零向量，满足，且，则与的夹角为(　　) A． B． C． D． 4．等腰的顶角，，以为圆心，为半径作圆，为该圆的一条直径，则的最大值为__________． 5．已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（ ）． 　　A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 6．是边长