专题10 实际问题与一元二次方程-【一遍过】2023年暑假八年级升九年级数学考点衔接一遍过（人教版）

专题10 实际问题与一元二次方程 新知预习 （一）一元二次方程的实际应用 （1）解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”：就是求出说列方程的解； “答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 （二）一元二次方程实际应用的类型 （1）传播问题（2）增长率问题（3）几何面积问题（4）销售利润问题（5）单双循环问题 新知训练 考点1：传播问题 典例1：（2023·广东汕头·校联考一模）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人． 【变式1】（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）有一个人患了流感，经过两轮感染后共有81个人患了流感． (1)求每轮感染中平均一个人会传染了几个人？ (2)如果按这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？ 【变式2】（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？ 考点2：单双循环问题 典例2：（2023春·全国·八年级专题练习）无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？ 【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 【变式2】（2023春·八年级课时练习）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【变式3】（2022·福建厦门·厦门五缘实验学校校考模拟预测）在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会? 考点3：增长率问题 典例3：（2023·广东佛山·统考模拟预测）富强村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元． (1)求富强村人均收入的年平均增长率； (2)如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元． 【变式1】（2023·安徽蚌埠·校考二模）某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加，3月份的游客人数比2月份减少了． (1)设该风景区1月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表： 月份 1 2 3 游客人数/万人 a (2)求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率． 【变式2】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． (1)求该商品每次降价的百分率； (2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于199元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 【变式3】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 考点4：几何面积问题 典例4：（2022秋·新疆·九年级校考期中）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，要使草坪面积为300平方米，道路宽应为多少米？ 【变式1】（2023·福建南平·统考一模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区