【期末培优课堂】第19章《一次函数》-2022-2023学年八年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（人教版）

第19章 一次函数 知识点01：常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． （1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． （3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． （4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 知识点02：函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量． （2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． （3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 知识点03：自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题 有意义． 知识点04：函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 知识点05：函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 知识点06：正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称 它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 知识点07：一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 知识点08：一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 知识点09：用待定系数法确定一次函数的解析式 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 知识点10：一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b