上海市位育中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

上海市位育中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果 1．函数y＝sin2x的最小正周期是　 　． 2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为 　 　． 3．已知2sinx﹣1＝0，则x取值集合为 　 　．（答案用反正弦表示） 4．已知tanθ＝2，则＝　 　． 5．若△ABC是边长为2的等边三角形，则在的数量投影为 　 　． 6．若函数y＝3sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则φ＝　 　． 7．在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R＝　 　． 8．关于x的方程cos2x+sinx﹣a＝0有实数解，则实数a的取值范围是　 　． 9．函数的图象如下，求它的解析式 　 　． 10．函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，则实数m的取值范围是 　 　． 11．对于函数f（x）＝2xsin2x，有以下4个结论： ①函数y＝f（x）的图像是中心对称图形； ②任取x∈R，f（x）≤2x恒成立； ③函数y＝f（x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的结论序号为 　 　． 12．已知平面向量，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是 　 　． 二、选择题（每题4分，共16分）在答题纸上填涂相应结果 13．“，k∈Z”是“tanα＝”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 15．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 16．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论： ①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数； ②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数． 下列说法正确的是（　　） A．结论①、②都成立 B．结论①成立、②不成立 C．结论①不成立、②成立 D．结论①、②都不成立 三、解答题（共46分，6+8+6+10+12＝42）在答题纸上填写结果 17．（6分）已知． （1）若与的夹角为120°，求； （2）若与垂直，求与的夹角． 18．（8分）已知，，tanα＝7，． （Ⅰ）求cos（α﹣β）的值； （Ⅱ）求tan（α﹣2β）的值，并确定α﹣2β的大小． 19．（6分）如图，在直角坐标系中，角α的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝2S2，求α的值． 20．（10分）如图，折线A﹣B﹣C为海岸线，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，∠BDA＝54°． （1）求BC的长度； （2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（以上答案都精确到0.001km） 21．（12分）已知． （1）将f（x）化成； （2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间； （3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市位育中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 【参考答案】 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果 1．函数y＝sin2x的最小正周期是　π　． 【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论． 【解答】解：函数y＝sin2x的最小正周期是＝π， 故答案为：π． 【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题． 2．已知扇形的半