黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题

哈三中2022-2023学年度下学期 高二学年期中考试数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷、第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题（共60分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则数列公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为（ ） A. 1 B. e C. D. 5. 在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（ ） A. B. C. D. 6. 为推动校园体育建设，落实青少年体育发展促进工程，哈三中举行了春季趣味运动会，某班派出甲、乙等8名学生参加8×200米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第8棒，乙只能跑第7棒或第8棒，那么不同棒次安排方案总数为（ ） A 720 B. 1440 C. 2160 D. 2880 7. 小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她现在一个半径为4的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字四位数，下列结论正确的是（ ） A. 可以组成18个不同的数 B. 可以组成8个奇数 C. 可以组成12个偶数 D. 若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数 10. 若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数可能是（ ） A. B. C. D. 0 11. 已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间单调递减 C. 有两个零点 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 13. 已知函数，是的导函数，则______． 14. 四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有_______种 15. 如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的底面直径和母线长均为6．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为______． 16. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上一个伟大成就．现在从“杨辉三角”中去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前54项和为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 18. 已知数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 19 已知函数有极小值． （1）求a的值； （2）求证：． 20. 设数列的前n项和为，且，． （1）设，求首项的值； （2）设， ①求； ②若数列是递减数列，求a取值范围． 21. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最小值，证明：． 22. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、架空电缆都用到了悬链线的原理，经过很长时间的探究，在17世纪末期，莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中c为曲线顶点到横轴的距离．当时，称为双曲线余弦函数． （1）解方程； （2）双曲余弦函数的导数成为双曲正弦函数，记作．当时，求的最小值； （3）已知，求数列的最大项．（参考数据：） 哈三中2022-2023学