圆锥曲线a2模型-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、圆锥曲线模型 圆锥曲线内接四边形有着丰富的性质，可以利用极点极线角度探索。 特别地，如果取特殊四边形，可得如下定理： Th：如右图，在轴取一点，做关于轴对称直线，交椭圆于四点，连接，交于点,则可得:①点在轴 ②③. 定理证明从略，此模型是重要模型，有着更为丰富的性质，称之为：模型。若为焦点，则为准线和轴交点。注意题中有一些重要信息，如下： ①对称直线两组，分别是，；(即，) ②三点共线四组，分别是； 利用以上信息，可以设置定点定值问题，利用此模型，探得一些问题的解题方向，以此快速解题。典 型 例 题 【例题】(2020年全国1卷20) 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)设为坐标原点，证明：. 解：(1)的方程为或. (2) 法1：常规联立 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为， 由得． 设，．由韦达定理得． 所以， 故、的倾斜角互补，所以. 法2：角平分线定义 同法1联立得， 点A关于x轴的对称点， 则直线的方程为． 令，， 则直线过点M，． 法3：角平分线定理的逆定理的应用 同法1联立得， 设点O（也可选点F）到直线的距离分别为， 根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证． 直线的方程为：, ．同理，． ． 因为， 所以，即．综上，． *法4：椭圆第二定义 当直线l与x轴重合时，． 当直线l与x轴不重合时，过点A，B分别作准线的垂线， 垂足分别为C，D，则有轴． 由椭圆的第二定义，有，，得，即． 由轴，有，即， 于是，且．可得，即有． 【备注】 1、由模型可知，此题中,故满足模型的特征； 2、四种方法采用不同的角度进行证明，法4刚好是焦点，才可以利用第二定义，如果是其它点，则这个方法失效； 3、此题条件不变，问题也可以变式如下： (1)证明：x轴是的角平分线。 (2)证明：。 (3)若A关于x轴的对称点是，证明：三点共线。 (4)若关于x轴的对称点是， 证明：三点共线。 4、进一步，双曲线和抛物线也有类似的模型： (1)：如右图，在轴取一点，做关于轴对称直线， 交双曲线于四点，连接，交于点,则可得： ①点在轴 ②③. (2)：如右图，在轴取一点，做关于轴对称直线， 交抛物线于四点，连接，交于点,则可得： ①点在轴 ②③. 举 一 反 三 【训练1】 1．设抛物线C：x2＝2py（0＜p＜8）焦点为F，点P是C上一点，且PF中点坐标为（2，） (1)求抛物线C的标准方程； (2)动直线l过点A（0，2），且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN恒过定点． 【训练2】 2．已知椭圆的长轴长为，且经过点. (1)求C的方程； (2)过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标. 【训练3】 3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点． 参 考 答 案 1【详解】（1）依题意得，设，由的中点坐标为， 得，解得，∵在抛物线，∴， 即，解得或8（舍去），∴抛物线的方程为. （2）题意知直线的斜率存在且不为0， 设直线方程为，，，则， 联立消去得，∵是抛物线上不同两点，∴必有Δ＞0，由韦达定理得， ∵，，三点共线，，， ∴即， ∴，即化简得：， ∵，∴，∴直线方程为，∴直线恒过定点. 2.【详解】（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：， 将代入椭圆方程得：，解得，故椭圆C的方程为 （2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得. 设A，B的坐标分别为，则， 且， 因为直线，斜率互为相反数，即，所以，则， 即，即， 所以，化简得， 所以直线的方程为，故直线过定点 3【详解】（1）解:由题知设右焦点F的坐标为, 双曲线C的渐近线方程为, 右焦点F到其中一条渐近线的距离为,可得, 又由,可得,有,故双曲线C的标准方程为; （2）证明:由（1）知,双曲线C的方程为,右焦点, 因直线l与x轴不垂直且斜率不为0,设直线l与x轴交于点, 直线l的方程为,设,则, 由消去并整理得, 显然有且, 化简得且, 则, , 而三点共线,即, 则, 因此, 又,有, 整理得, 于是得 ,化简得, 即直线过定点, 所以直线l经过x轴上的一个定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $