圆锥曲线-斜率之积1（直角弦）-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、斜率之积1（直角弦） 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题 (如右图筷子PA、PB). 特别地： Th: 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPAkPB=，则直线AB过定点。 因为kPAkPB=也称此时为直角弦，经常以定理的特殊情况来命制题目，具体常用证明的方法有： 法1：假设直线AB，联立曲线得A、B两点韦达信息，再由kPAkPB=分析信息； 法2：假设直线PA、PB，联立曲线得A、B坐标，再求直线AB，再分析得定点； *法3：平移坐标齐次化，假设直线AB为mx’+ny’=1,再进一步处理； *法4：二次曲线系方法，详见二次曲线的专题材料； 典 型 例 题 【例题】(2020年山东22改编) 已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求的方程; (2)点，在上，且，证明：直线过定点． 解：(1)椭圆方程为：.计算优化-点乘双根 若直线的斜率存在，设方程为， 令，则． 又， 令，则． 因为，所以即： =0 (2) 法1：直线 若直线斜率存在时，设方程为：， 联立消得， 设点， 可得，， 因为，所以， 即， 可得，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以，故， 于是的方程为 ，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍），此时直线过点. 综上，直线过点 法2：直线(计算量大，省略) 法3：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，建立新的直角坐标系x’Ay’ 则在新的坐标系下椭圆的方程为， 设直线的方程为． 将直线方程与椭圆方程联立得， 即， 化简得， 即． 设，因为 ，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下过定点， 则在原坐标系下直线过定点． 【备注】 1、 从条件上看，，有很多等价形式，比如斜率角度，向量角度，圆的角度等， 如注意变通； 2、 从问题上看，直线过定点，即蕴含着一个不变的量，可由此进一步命制问题。 2020年山东22题即如此，原题为如下，解决的关键是求证直线过定点； “(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q使得|DQ|为定值” ...... 3、 从方法上看，法1是通法常用，不过可以用点乘双根简化计算量;法2因为点A是普通点，联立计算量大；法3不常用，但是抓住了斜率积为这一条件展开； 4、进一步，从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点： (1)从椭 圆上，若kPA kPB=，则直线AB过定点； (2)从双曲线上，若kPAkPB=，则直线AB过定点； (3)从抛物线y2＝2px上， 若kPA kPB=，则直线AB过定点； 备注：以椭圆为例，点P在轴时，定点在轴；点P在轴时，定点在轴! 举 一 反 三 【训练1】 1．经过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点. (1)判断以为直径的圆与该抛物线准线的位置关系，并说明理由； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【训练2】 2．已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？ 【训练3】 3. 双曲线交点在轴，焦距为，实轴为6. (1)求曲线C的方程； (2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 参 考 答 案 1.【详解】（1）省略 （2）解：设过点的直线为，，， 由，消去整理得， 则，所以，， 则， 因为，所以，即 即，解得或， 当时直线过坐标原点，点与（或）重合，不符合题意， 当时，符合题意，所以. 2．【详解】（1）椭圆方程为：，离心率为： （2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点 又由（1）可知： 设直线AB的方程为：，， 联立方程可得： 有韦达定理可知：， 又 又 ，展开后整理得：， 解得：或（舍去），直线恒过定点 3．解：（1）如图，设圆E的圆心为，半径为r，可得圆M半径为，圆N半径为 则，，所以， 由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支， 又. 所以动圆的圆心E的轨迹方程为，. （2） 设直线l的方程为，将直线方程与曲线E方程联立，有： ，消去x得， 由题直线与曲线有两个交点，则. 设，，其中，，由韦达定理有：. 又， 则 又，，则 ，即， 又 ， 故或， 若，则直线l的方程为， 此时l过点，与题意矛盾，所以， 故，所以直线l的方程为，则直线l恒过点 第1页 第