圆锥曲线-斜率之等差-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、斜率之等差 在圆锥曲线的问题中，除了斜率之和，斜率之积，斜率之商的相关问题，还有一类斜率成等差的问题.事实上，有如下定理： Th: 过轴上右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列，即. 如果点刚好在轴，可得模型。 另外，也经常取某个特殊的点，来设置问题，这样计算会简化些，如下例题。 典 型 例 题 【例题】 已知椭圆的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的方程； (2)为直线上任意一点，过点右焦点且与P垂直的直线交椭圆于A，B两点． 记、、的斜率分别为、、，求证：. 解：(1)椭圆的方程为. (2) 法1：直接计算 设直线AB的方程为，其中， 联立， 得， ， 设、，得，， 依题得直线的方程为： ，得 故有，，， ， , ， 法2：和积代换 最后一行运算转化 , ， 变式：为直线上任意一点，直线AB为过右焦点的任意直线，求证：. 解：同例题得韦达定理，令，故有，，， 得 ， . 【备注】 1、 从问题的设置来看，原问题也可改为：“求证，” 或“探索是否存在常数，使得”，本质相同； 2、 从方法上看，法1并不神奇，就是很基础的斜率运算中，韦达定理代入； 法2是在认定结果是定值，巧妙利用和积关系转化，然后进行约分，简化计算； 3、实际上，以上的斜率等差现象，不止对焦点准线位置成立，进一步有： (1)过轴上点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上 任一点,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (2)过轴上一定点的直线交双曲线于两点，则在直线上 任一点,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (3)过轴上一定点的直线交抛物线于两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. *4、更进一步，我们也可以从调和线束来理解以上结论的本质， Th: 若四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点，所形成的四条射线称为调和线束，对应的方程为，那么. 所以，这三斜率对应的直线是调和线束的三条。故可对变式题再证明： 证：可知焦点，所以和调和分割 即称为调和线束，故 注意, 所以，于是， 即，故，于是得证. *5、2013年江西高考题也是斜率成等差模型，但并不是备注3所述的类型，但用备注4来理解就很快了，也是调和线束的4个斜率关系，原题如下： (2013年江西理21)如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4. (1)求椭圆C的方程； (2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由. 举 一 反 三 【训练1】 1．已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、． (1)求抛物线的方程； (2)设直线、、的斜率分别为、、，求证：． 【训练2】 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，离心率为，P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【训练3】 3．已知曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍. (1)求曲线的方程； (2)直线交x轴于N，与曲线C在第一象限的交点为E，过点N的直线与曲线C交于F，G两点，与直线交于点K，记EF，EG，EK的斜率分别为，，，求证：是，的等差中项 参 考 答 案 1.解:（1）由题意，知，所以，所以拋物线C的方程为． （2）因为直线过抛物线C的焦点，由题意知，直线斜率不为0，所以设的方程为 ， 设，，联立，消去得， 即，所以，， 所以 ， 因为，，所以，所以． 2.解:（1）由题意在椭圆中，右顶点为，离心率为， ∴， ∴ ∴∴椭圆的方程为： （2）由题意及（1）得在椭圆中，设存在常数，使得 当直线斜率不存在时，其方程为：， 代入椭圆方程得，，此时,可得 当直线斜率存在时，设直线的方程为，，， 将直线方程代入椭圆方程得： ∴， ∵P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点 ∴直线的方程为： ∴ 由几何知识得：，， ∵ ∴ 将，，，代入方程，并化简得：, 解得： 综上，存在常数，使得 3.解:（1）设，因为曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍， 所以， 所以，化简得， 所以曲线的方程为； （2）由题意可得，设，则， 当直线的斜率为0时，，， ，， 所以此时有 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，可得， 所以， 所以，同理， 所以， 由可得，所以，所以， 综上可得： ，是，的等差中项. 1 学科网（北京）股份有限公司 $