第6章 第3节 等比数列及其前n项和（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．

(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0；(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如0，0，0，…

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．

并不是任意两个实数都有等比中项，只有同号的两个非零实数才有等比中项．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：

Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1).

在等比数列{an}中，若aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．

学霸笔记

1．等比数列的单调性

当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时 ，{an}是递增数列；

当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时 ，{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列；

当q＝－1时，{an}是摆动数列．

2．等比数列的几个常用结论

(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(2)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．

(3){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

(4)当q≠0且q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.

(5)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数，则还等于中间项的平方．

进阶诊断

1．判断正误

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　×　　)

(2)任意两个实数都有等比中项．(　　×　　)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　×　　)

(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　×　　)

2．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

B　解析：由题，当数列为－2，－4，－8，…时，满足q＞0，

但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若{Sn}是递增数列，则必有an＞0成立，若q＞0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q＞0成立，所以甲是乙的必要条件．

3．(2023·辽宁大连模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a6＋a8＝______．

答案：5

4．(教材习题改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________．

答案：－(－)n－1　解析：因为＝，