第4章 专题2 高考中的三角函数与解三角形问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

专题二　高考中的三角函数与解三角形问题 题型一　三角函数的图象和性质 (2022·山东潍坊二模)在①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，②函数y＝f(x)的图象关于点P(，0)对称，③函数y＝f(x)的图象经过点Q(，－1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ(ω＞0，|φ|＜)最小正周期为π，且________，判断函数f(x)在(，)上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 思维导引 学科素养 本题主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 先对函数化简得f(x)＝sin (ωx＋φ)，由函数的最小正周期为π，可得ω＝2，则f(x)＝sin (2x＋φ). 若选①，则有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，从而可求出φ的值，进而可求出函数的解析式，再利用换元法即可判断是否存在最大值； 若选②，则有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，从而可求出φ的值，然后利用换元法即可判断是否存在最大值； 若选③，则有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，从而可求出φ的值，再利用换元法即可判断是否存在最大值 解：f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin (ωx＋φ)， 由已知函数f(x)的周期T＝＝π，求得ω＝2， 所以f(x)＝sin (2x＋φ)， 若选①，则有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin (2x－)， 当x∈(，)时，t＝2x－∈(，)，所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1. 若选②，则有2×＋φ＝kπ(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin (2x－)， 当x∈(，)时，t＝2x－∈(0，)， 所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1. 若选③，则有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 解得φ＝2kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝1，φ＝， 所以f(x)＝sin (2x＋)， 当x∈(，)时，t＝2x＋∈(，)， 显然，函数f(x)在该区间上没有最大值． 解决三角函数图象与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式． (2)把“ωx＋φ”看作一个整体，借助复合函数的性质求三角函数的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题． 　(2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R). (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f 在上的最大值． 解：(1)由辅助角公式得 f(x)＝sin x＋cos x＝sin ， 则y＝＝ ＝2sin2＝1－cos ＝1－sin 2x， 所以该函数的最小正周期T＝＝π. (2)由题意，y＝f(x)f ＝sin ·sin x＝2sin sin x ＝2sin x·(sin x＋cos x) ＝sin2x＋sinx cos x ＝·＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin ＋， 由x∈可得2x－∈， 所以当2x－＝，即x＝时，函数取最大值1＋. 题型二　解三角形问题 (2021·新高考卷Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC. 思维导引 学科素养 本题主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)根据正弦定理的边角关系有BD＝，结合已知即可证结论； (2)根据余弦定理及∠ADB＝π－∠CDB得到a，b，c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ∠ABC (1)证明：由题设，BD＝， 由正弦定理知＝， 即＝，∴BD＝，又b2＝ac，∴BD＝b，得证． (2)解：由题意知：BD＝b，AD＝，DC＝， ∴cos ∠ADB＝＝， 同理cos ∠CDB＝＝， ∵∠ADB＝π－∠CDB， ∴＝， 整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac， ∴2a2＋＝， 整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0， 解得＝或＝， 由余弦定理知：cos ∠ABC＝＝－， 当＝时，cos ∠ABC＝＞1不合题意； 当＝时，cos ∠ABC＝； 综上，cos ∠ABC＝. 1.利用正、余弦定理解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 2.