第3章 第2节 导数与函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 导数与函数的单调性的关系 条件 结论 函数y＝f(x) 在区间(a，b) 上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 学霸笔记 1．利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； 2．在某个区间内，f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x2≥0. 3．函数f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0，不影响函数f(x)在区间内的单调性． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　×　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．(　　√　　) (3)若在区间(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在区间(a，b)内是减函数．(　　√　　) 2．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息： ①当f′(x)>0时，－1<x<2； ②当f′(x)<0时，x<－1或x>2； ③当f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是(　　) D　解析：由题意可知函数f(x)在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减． 3．(误解导函数与单调区间的关系致误)f′(x)是f(x)在区间[a，b]的导函数，则“在区间(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在该区间内单调递增”的________条件． 答案：充分不必要　解析：一般地，由f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0，因此f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件． 4．(2023·黑龙江大庆模拟)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________． 答案：－4　解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]， ∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 考点1　不含参数的函数的单调性问题　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·四川成都模拟)函数f(x)＝·ln x的递增区间为(　　 ) A．(，＋∞) B．(，＋∞) C．(0，) D．(0，) A　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝·ln x＋·＝， 由f′(x)>0得ln x＋2＞0，解得x＞， 所以f(x)的递增区间为(，＋∞). 2．(2023·山东山师大附中质检)若幂函数f(x)的图象过点(，)，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　) A．(0，2) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－2，0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) A　解析：设f(x)＝xα，代入点(，)， 则()α＝，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴g(x)＝， 则g′(x)＝＝， 令g′(x)>0，解得0<x<2， ∴函数g(x)的单调递增区间为(0，2)． 3．(2023·南京月考)已知函数f(x)＝(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数).则f(x)的单调递增区间为________；单调递减区间为________． 答案：(0，1)　[1，＋∞)　解析：f′(x)＝(1－x－x ln x)， x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0，1)时，h(x)＞0； 当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0. 又ex＞0，所以x∈(0，1)时，f′(x)＞0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， 因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为[1，＋∞)． 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 考点2　含参数的函数的单调性问题　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (2023·天津模拟)已知函数f(x)＝a