第1章 第1节 集合及其运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． ∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确． 3．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且xA} 补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同． 学霸笔记 1．集合子集的个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 2．集合基本运算的常见性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A； A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A； A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 3．在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能． 进阶诊断 1．判断正误 (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　×　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　×　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1．(　　×　　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　√　　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　×　　) 2．(教材习题改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝4，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊆A 　 B．a⊆A C．{a}∈A 　 D．aA 答案：D 3．(2022·浙江卷)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} D　解析：A∪B＝{1，2，4，6}，故选D. 4．(忽视集合元素的互异性)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－x＝0}，则A∪B＝______． 答案：{0，1，2，3}　解析：由题意得集合B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，2，3}． 考点1　集合的含义与表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　) A． B． C．0 D．0或 D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.综上可知a＝0或. 2. (2023·山东聊城模拟)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：因为A＝{0，1，2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4， 故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0，1，2，4}，即集合B中元素个数为4. 3．已知a，b∈R，若 ＝{a2，a＋b，0}，则a2 023＋b2 023＝________． 答案：－1　解析：由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 023＋b2 023＝(－1)2 023＋02 023＝－1. 与集合中的元素有关问题的求解思路 (1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性． 考点2