第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 图象关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象关于原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数 ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期). (1)并不是所有周期函数都有最小正周期． (2)周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 学霸笔记 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的常用结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a＞0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a； (4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； (5)函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 3．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　×　　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0．(　　×　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 2．(忽视奇偶函数定义域特征致误)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ B　解析：显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，即a＋b＝. 3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 B　解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋， 对于A，f(x－1)－1＝－2为非奇非偶函数； 对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数； 对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数； 对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数． 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝________． 答案：1　解析：因为f(x＋2)＝－， 所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)， 得T＝4，f(9)＝f(1)＝1. 考点1　函数的奇偶性及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋ ； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝ 解：(1)因为函数f(x)的定义