第2章 第4节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 幂函数在(0，＋∞)上都有定义，当α＞0时，幂函数的图象均过定点(0，0)，(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增．当α＜0时，幂函数的图象均过定点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的概念 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 3．表示形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标． (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标． 4.二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在[－，＋∞)上单调递增； 在(－∞，－]上单调递减 在(－∞，－]上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 学霸笔记 1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0的实根． 2．若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝. 3．当a＞0且Δ＜0(Δ≤0)时，恒有f(x)>0(f(x)≥0)；当a＜0且Δ＜0(Δ≤0)时，恒有f(x)<0(f(x)≤0). 4．对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处). 进阶诊断 1．判断正误 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　×　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　×　　) (3)函数y＝2x是幂函数．(　　×　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　) (5)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　×　　) 2．(教材习题改编)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(4，)，则f(2)＝(　　) A． B．4 C． D． C　解析：设f(x)＝xα，因为图象过点(4，)， 所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x， 所以f(2)＝2＝. 3．(教材习题改编)若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　) A．{t|t≤1} B．{t|t≥1} C．{t|t≤－1} D．{t|t≥－1} A　解析：∵函数y＝x2－2tx＋3的图象关于直线x＝t对称，且开口向上，∴t≤1. 4．(不理解二次函数在闭区间上恒成立致误)若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，1]恒成立，则m的取值范围为________． 答案：(－∞，－3]　解析：只需要在x∈(0，1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3. 考点1　幂函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·福建福州模拟)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 D　解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时