第2章 第5节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．根式 n次 方根 概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 性质 当n是奇数时，a的n次方根为x＝ 当n是偶数时，正数的n次方根为x＝±，负数没有偶次方根 0的任意正整数次方根均为0，记作＝0 根式 概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 当n为奇数时，＝a 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有 关概念 正数的正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指数幂的运算性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 3．指数函数定义、图象与性质 (1)定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (2)指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 学霸笔记 1．图象问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1， ). (2)y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称． (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　√　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n．(　　×　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　√　　) 2．(忽视x<0时开偶次方致误)化简 的结果是(　　) A． B．－ C． D. － B　解析：由题意得x<0，所以＝＝＝＝－. 3．(教材习题改编)已知a＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a D　解析：因为y＝()x在R上为减函数，>，所以b<c.又y＝在(0，＋∞)上为增函数，>，所以a>c，所以b<c<a. 4．(教材习题改编)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________． 答案：(1，3) 考点1　指数幂的运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．＝ D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确． 2．(2023·江苏连云港期中)已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是(　　) A．(5，6) 　 B．(6，7) C．(7，8) 　 D．(8，9) D　解析：由题意可设，模式A的函数关系为y＝－300t＋3 000，模式B的函数关系为y＝p·，其中p为初始电量，在模式A下使用m小时，其电量为3 000－300m，在模式B下使用(10－m)小时，则可得到(3 000－300m)·＞3 000·5%，可化为2m－10(10－m)＞，令x＝10－m，可得2－x·x＞，即2x－1＜x，可结合图形得到1＜x＜2，即1＜10－m＜2，解得8＜m＜9，即m∈(8，9).